「数の学」カテゴリーアーカイブ

論理とモノ

Sur La Logique Et La Theorie De La Science (Bibliotheque Des Textes Philosophiques)思うところあって、ジャン・カヴァイエスの『論理学と学知の理論について』をヴラン社のポッシュ版(Jean Cavaillès, Sur la logique et la théorie de la science (Bibliothèque des textes philosophiques), J. Vrin, 2008)でざっと読んでみた(ざっと読んだ程度でわかるようなものではないのだけれど……)。すでに邦訳もあるけれど(構造と生成〈2〉論理学と学知の理論について (シリーズ・古典転生)、近藤和敬訳、月曜社、2013)、今回は原書のほうで見てみた。これは数学者としてのカヴァイエスによる、学知の根底としての論理学への批判の書、あるいは批判の史的展開と思想的展開をからめたマニフェストというところかしら。よくわからないなりに、主要なストーリーラインを追っておこう。カヴァイエスはまず、カントに導かれるかたちで学知の根底には論証の体系が、あるいは数学的な組織化が横たわっていると考えられるようになったと指摘する。前者の立場はボルツァーノからフッサールへ、後者の立場はブランシュヴィックからブラウアーへと継承されることになった、と。これは思想史的な分岐の出発点となり、両者それぞれの議論にその後精緻化が進み、とくに前者においては形式的存在論や直観主義などが必然的に導入されることにもなっていく。

前者はいわばライプニッツ以降の、合理性の領域から数が追われて無限が招き入れられるという状況のさらなる展開だともいわれる。ボルツァーノは学知の限界を初めて概念化し、集合論を取り入れてみせたが、それにより、学知というものがもはや人間精神と存在それ自体の中間物、固有の現実を欠いた中間物ではなく、自律的な運動を伴う独特の対象と見なされることにもなった。こうして学知はすべて論証、すなわち論理学に帰されることになったというわけだ。

しかし今度はそうした論理主義が批判の対象になる。そこでは特殊なものはすべて削除され、いわば形相と質料の分離はとことん突き詰められるしかない。形相=形式のみが残り、かくして数学は形式の体系でしかなくなり、形式主義の外部をなすような論証的認識の問題や、物理学など外部の学問との関係性などは未決定のまま放置されてしまう。やがてタルスキが嚆矢となって、形式的なものと、それに対して外部をなす、形式をつなぐシンタクスとの区別が導入される。しかしそのシンタクスにしても、抽象的な規則にとどまる限り、内実のない空虚なものでしかない。ではそうした形式的なものをまとめあげる根拠はどこに見いだされるべきのか。こうして形式主義は、再びその起源をなしていた「対象」、すなわち現実的な「モノ」を再び見いだすことになる……。

もちろんその手前には、フッサールによる論理主義と意識の理論の統合などがあり、対象すなわちモノは「カテゴリアル(apophantique)な実体」であると規定されなければならない。対象は単に個別のものを抽象化するのではなく、もう一段進んだ一般的事物(事象)だということになる。おお、これはまさしく先の朱子学での「性」(性善というときの)にも通じる、二重の抽象化ではないか!とにかくこうして「対象」(モノ)と、それを捉える合理的主体の自律性とがともに犠牲になることなく連なるようにできる。現実世界の認知が、ここに担保されることにもなる。

古代思想と音楽

音楽と建築夏読書。だいぶ前に読みかけで放置してあったクセナキス『音楽と建築』(高橋悠治訳、河出書房新社、2017)をとりあえず通読。ヤニス・クセナキスといえば、建築家でもあった作曲家。同書はそのクセナキスの論考をまとめた日本版オリジナルの論集。数学への言及や数式が出てくる箇所が多々あり、難解な印象だけれど、そのあたりは多少ともスルーしながら読み進めれば、壮大なビジョンのようなものも浮かび上がってくる(どうせ細かいことは1回通読した程度ではまったくもって不案内にすぎないのだから、そういう大局的なところを楽しもう、というわけ)。というのもクセナキスは、古代音楽についての見識から出発して、ある種の音楽観を刷新しようと努めているからだ。

「メタミュージックに向かって」という論考では、紀元後数世紀までの古代の音楽が「旋法」(それは音階の型にすぎないとされる)ではなくテトラコルドに、そしてある種の「システム」にもとづくものだった、とクセナキスは喝破する。そのことが曇らされているのは、単旋律聖歌をもとにした中世以降の見識のせいなのだ、と。さらにそうした古代の音楽の「入れ子」状の構造がどんなものだったのかの記述を試みる。ここで参照されているのはアリストクセノスの音楽理論だ。それはさらに、ビザンツ音楽において、ピュタゴラス派の計算法と融合して拡張されていく様子をも描き出していく。

「音楽の哲学へ」と題された論考では、古代ギリシア思想の独自の総括のようなことを行っている。イオニアの哲学者たち(アナクシマンドロス、アナクシメネス)が、なにもないところから推論としての宇宙論を創造し、宗教や神秘主義に打ち勝つ道を開いたことを高く評価し、その推論を促した反問の技法が、ピュタゴラス教団の数の思想、さらにはパルメニデスの議論に結実したことを言祝いでいる。万事がなんらかの数であるという考え方と、感覚外の現実が「一つ」であるという究極の存在論は、現代にいたるまで(ときおり後退したりしながらも)手を変え品をかえ受け継がれている、とクセナキスは見る。一方でこの決定論的な地平に、表裏の関係にある純粋偶然が入り込む可能性も見いだされる。エピクロス、ルクレティウスによる「偏り」概念の導入だ。これもまた、パスカル、フェルマー、ベルヌーイなどによる精緻化を経て、「トートロジー的統一とその内部での永続的変奏原理」(p.63)とが織りなす、世界の様相が明らかになっていく。クセナキスはこうした考察をもとに、時間外構造(決定論的構造)と時間内構造(純粋偶然の折り込み)の概念を打ち立て、それをもとに音楽史の流れまでをも再構成しようとする。

セレノスの円柱曲線論

La Section Du Cylindre. La Section Du Cone (Collection Des Universites De France Grecque)ちびちびと原典読みをするのはなかなか楽しい。というわけで、このところ読んでいるのはセレノスの『円柱曲線論』。底本としているのは、同じくセレノスの『円錐曲線論』との合本になっている、つい最近刊行されたばかりの希仏対訳本(La Section du cylindre. La Section du cône (Collection des Universités de France grecque), éd. M. Decorps-Foulquier, trad. M. Federspiel, col. K. Nikolantonakis, Les Belles Lettres, 2019)。セレノス(アンティノポリスのセレノス、またはアンティノエイアのセレノス)は、後4世紀のローマ帝政期のギリシア人数学者。円柱曲線論、円錐曲線論の二作は、セレノスの代表作であり、唯一現存するテキストなのだとか。

まだ前半に相当する『円柱曲線論』の3分の1くらいしか読み進めていないけれど、内容的には幾何の教科書のようで、円柱を水平もしくは斜めに横断する断面がどのようになるのか、ということを、様々な例を挙げて多面的に解説していく。これとこれが平行関係なら、これとこれも平行になり、これとこれが同じ角度になる云々、といった記述が全編続いていく感じ。基礎的な幾何学なので、表記の癖のようなものに慣れれば意味を取るうえでそれほど問題はなさそうに思うが、思うにこれが文字だけの記述だったとしたら、理解するのも再現するのも難しかったろう。もちろんテキストには図がついている。これは校注版でもあるわけで、収録されている図版もきちんと整理され作図されているものになっている(18世紀の印刷本以来、そのようになっているらしい)。けれども、それだけいっそう、もとの手稿本はどんなだったろうか、と気になってくる。冒頭の解説序文によれば、現存するのは中世の写本ということで、それがオリジナルの図案をどれほど正確に伝えているかはわからないということだった。写本では距離の大小の関係などが正確には写し取られていない可能性が高いらしい。中世の写本工房では、もとの図の位置関係をそのまま保持しないのが通例だったからだ。また、円錐の底面などは、図案では楕円ではなく円で表されたりしているという。

ベイズ推定をめぐる歴史

パズルゲームの「数独」では、上級問題になってくると、ある数が2つのマスに入る可能性があってほかの手がかりがなく、論理的推論だけでは判断できないような場面が出てきたりする。そんなときの対処法は、やはりトライ&エラーに限る。とりあえず入れてみて、ほかのマスがうまく埋まるかどうかを見てみる、というやり方。うまくはまれば、それでほかのマスが一挙に埋まったりする。当てずっぽう、あるいは決め打ちという感じではあるけれど(苦笑)、作業効率は悪くない。で、こうしたやり方は案外広く用いられている印象もある。機械学習・深層学習の教科書などでよく眼にする「ベイズ推定」「ベイズ定理」なども、ごく基本的なところの発想はそういうトライ&エラーにあるらしい。

文庫 異端の統計学 ベイズ (草思社文庫 マ 3-1)なんでこんな話をしているかというと、次の本を読んでいるところだから。シャロン・バーチュ・マグレイン『異端の統計学 ベイズ (草思社文庫 マ 3-1)』(冨永星訳、草思社、2018)。まだ冒頭150ページ弱の第一部を見ただけだけれど、これがなかなか面白くて引き込まれる。トーマス・ベイズが1740年代に発見し、その後ラプラスが精緻化したというこのトライ&エラー型の確率論(「事後確率は事前確率と尤度の積に比例する」という定理)の盛衰を、時代に沿って順に詳述していくというもので、ノンフィクションの群像劇的な面白さを味わうことができる。盛衰というが、第一部に関しては、その悲劇的ともいえる毀損の数々が描かれていく。主要登場人物で著名な数学者だったラプラスの存在にもかかわらず、ベイズ推定はおもにその主観的な推測と、初期設定となる等確率の無根拠さによって散々な攻撃に曝され、文字通り粉砕されてしまう。けれどもその理論の発想は、一部の人々、とくに他領域の研究者らによって徴用・温存されて、やがて日の目を見ていくことになる……と、なかなか情感に訴えるストーリー展開が待っていることは予想がつくが、いずれにしてもこれは実に骨太のサイエンスライティング。

アラン・バディウの数学=存在論

推移的存在論今週はずっとアラン・バディウ『推移的存在論』(近藤和敬・松井久訳、水声社、2018)を眺めている。中心的な考え方はもちろん存在論の捉え直し。歴史的に存在論は「一」(一者、一性)の統一する力、その潜在力に従属してきた。けれども思想史には別筋の流れももちろんあって、そこでは存在論はそうした従属から解放され、いかなる一貫性にも還元されないような「多」についての理論となっているのではないか、そしてそれを今再び練り上げなくてはならないのではないか、というわけだ。で、そうした多を扱う理論は、結果的・必然的に「数学」、しかも論理記述的なものではなく、直観主義が言うような形での「数学」(そこでの数学的事象は、疑似的存在であり、存在論的な「決意」に属するものだとされる)でなくてはならないという。

このような立場を擁護すべく、同書では主要な哲学史上の議論の流れが再整理されることになる。その整理は、ある意味刺激的な読み直しをともないつつ、ドゥルーズ、スピノザなどをめぐりながら、少しずつ着実に進んでいく。中でもとりわけ刺激的なのは、プラトン思想やカント思想の「読み直し方」。前者においては、アリストテレスが「一」の論理に存在論を落とし込もうとする(記述を通じて)のに対し、プラトンは「多」の絶対的な決定不可能性のほうへと向かっていく、とされる。決定不可能性とは、たとえば認識主体と認識対象との区別になんの妥当性もないということだ。バディウは、思考が包蔵する存在と、思考が調整する運動との共外延性こそが、プラトンの言う「イデア」なのだと喝破してみせる。つまり思考の能力と思考の対象とは同じものであって分離できないということ。するとそれは多数性へと向かう契機こそを重視する立場を導き、選択公理(集合の生成力に制限を設けない)に好意的で、連続体仮説(限定を加えそうな)には慎重だということになる。

後者についても、たとえばカントの議論を、現象の側に純粋な多を、主体の側に「一として数えること」(統一)を置くように解釈してしまうのは誤りだとし、統一もまた、現象の多性の側の問題へと送り返していると読むべきだとしている。そのような統一をなす「統覚」の能力は、多の事象をたがいに結びつけるようなカテゴリーの体系とは別物で、むしろ連結の側から接近されるようなものなのだという。純粋な多がなんらかの状況に置かれて、「一として数えられる」ようになるのが実在するものだといい、一方の対象とは、連結(結びつきの錯覚)からのみ表象可能となったものだとされる。ここでもまた、統覚(主体)と対象とに、それらを表象可能にするような源・主体と源・対象があるならば、それらはいっさい現前することがなく、存在から引き離された「空」であるという意味において、不可分のものなのだとされる。

総じて、細やかで難解でありながらも、見かけ以上に価値転覆的な戦略を伴った議論という印象。消化しきれないところも多々あるし、これがどのような展開を遂げていくのかも気になるところではある。今回の翻訳は少し読みにくい印象もあるけれど、いずれにしてもバディウは少しこだわって見てみたい著者である。