これも年越し本だが、昨年の『現代思想』12月号（特集：巨大数の世界）（青土社、2019）を興味深く読んだ。巨大数というのは、位取りの名称がないほどの大きな数で、指数その他の組み合わせで表されるものらしい。とくにネット上で数学愛好家たちがいろいろなアイデアを出して検証しているといい、基本的にアマチュアリズムが牽引している現象だというのもどこかエキサイティングだ。最初に、「フィッシュ数」という数を考案したというフィッシュ氏と、数学史家の鈴木真治氏の対談があり、数学者の甥が考えたというグーゴル（1の後に0が100個続く数）の話などが紹介されたりしているが、ほかの論考も基本的には大きな数の扱いなどをめぐる数学史の紹介が中心。媒体が思想誌であることもあり、また普段あまりなじみのないトピックだけに、どうしてもこれまでの経緯や前史を振り返るという趣向の論考が多い。

けれども、個人的にはそれらもまた面白い。藤田博司「無限と連続の数学」では、もちろん主役となるのは近現代の諸理論なのだけれど、史的に振り返る冒頭部分でも、ユークリッドなどの古代ギリシアから近世にいきなり飛ぶことをせず、中世（14世紀）のブラッドワーディンやリミニのグレゴリウスの無限をめぐる議論をきっちり差しはさんでいるところに好感がもてる。対談にも登場した鈴木真治「歴史的に観た巨大数の位置づけ」では、million、billion…といった乗冪の命数法の考案者としてニコラ・シュケや、アラビア数字を伝えたとされるオーリヤックのジェルベール、16世紀の指数概念の考案者シモン・ステヴィンなどの名に触れている。斎藤憲「古代ギリシャの（巨大）数」は、ユークリッド『原論』が一般論に始終し、具体的な数字をほとんど出していないことなどを指摘したり、前2世紀の計算天文学の祖ヒッパルコスが示した数字（10の肯定命題の組み合わせが103,049個）が、10個の並んだ数に括弧を付ける方法の数だということが1997年に解明された話、さらにはアルキメデス『砂粒を数えるもの』の議論を紹介したりしていて、特段に楽しい。同書は「適切な記号の有無が人間の思考力を大きく左右する」（p.108）証左だと、同論文著者は述べて締めくくっている。

記号の有無と思考力の関係性は、そのまま数学的事象の存在論的地位の議論にもつながっていく。近藤和敬「かぞえかたのわからない巨大数は存在しないのか」は、数学的なものがある種の存在者であるという立場から、それをあくまで現に存在するものと規定し、名指すことができないうちは、それは「現に」存在しないという結論を導いてみせる。これは続く佐金武「永遠について――現在の観点から」にもやや関係する議論。そちらは、現在主義という立場を取り（マクタガートのB系列は前後関係だけがあるとするものだが、それをさらに純化したような立場だ）、その場合に永遠というものの諸相（無限性。不変性、無時間性）がどう表現可能であるかという問題を論じてみせる。

数学プロパーな人から見ればなんのこっちゃとなるのかもしれないが、総じて、巨大数という入口から、数学史のほか、無限、存在、時間など、哲学的なテーマが様々に引き寄せられてくる、そのスリリングな様を存分に楽しめる。

前回記事のデカルトの懐疑にも通じる話だが、数学的に語ることもできる確率論や蓋然論は、客観的なものと断じてしまってよいのだろうか、という疑問がある……。というわけで、フランスの『カイエ・フィロゾフィック』の18年度第4四半期号（Pensée statistique, pensée probalibiliste (Cahiers philosohiques), Vrin, 2018）を読んでいるところ。これに、論考としては異例というか、ある意味面白い試みの一本が掲載されている。アレックス・ビアンヴニュ「蓋然性の出どころは客観的か主観的か」（Alex Bienvenu, ‘La probabilité a-t-elle une source objective ou subjective ?’）というもの。

あらかじめフィクションとして断った上で、ハンス・ライヘンバッハとブルーノ・デ・フィネッティとの架空の対話を描いてみせている。ライヘンバッハは科学哲学、デ・フィネッティは統計学者で、ともに20世紀前半に活躍した実在の学者たち。両者の間には実際に書簡のやりとりもあったといい、1937年6月にライヘンバッハはアンリ・ポワンカレ研究所での講演会に出、その2年前の同じ時期には、やはり同じ研究所で、数学者エミール・ボレル主催の蓋然性をめぐるシンポジウムにデ・フィネッティが参加しているという。ここから、若干時空を超えて（笑）、二人が直接に対話したらどんな感じだったろうかと、紙上で想像したのがこの論考というわけだ。両者の考え方のエッセンスを、スケッチ風に切りだしてみたという趣意らしい。

ライヘンバッハは、経験論的な事象がもつ蓋然性（発生確率）を一つの「賭け」（判断）であるとしつつ、それは主観的なものではないと論じる。「賭け」そのものは、判断の主体による推論が前提となるので、それは主観的なものだけれど、そうした事象が経験論的に正当なものとされるには、一般化された、非人称的な認識主体であればよく、そうした主体が下す判断はもはや通俗的な意味での主観ではない、というのだ。これはつまり、まだ生じていない事象は不確かではあるけれど、これまでの経験論的な過去データにもとづく蓋然性でもって、その事象の確かさが推定できる（発生確率がなんらかの値に近づくことが、過去データから推測される）場合には、それは確かなものに準じる扱いをすることができ、その意味でもはや主観的なものではなくなる、ということだ。

けれどもデ・フィネッティはそれに納得しない。まず、蓋然性とは発生確率が近づく限界値だとするなら、そうした限界値を想定すること自体が経験論的だ、というのが一点、別様の、より操作的な蓋然性の経験論を定義することも可能だ、というのがもう一点だ。経験論とは観察で検証できるもののことだとするなら、ある命題について賭けを設定することが、その命題の蓋然性を主体がどう評価するかを表すことになる（勝ち金に応じて掛け金をいくらにするかが、発生確率についての「信」の程度を表すように）、というのがその考え方。これはつまり、汎主観論的な立場だということになる。

科学において蓋然性は客観的なものと考えてよいというライヘンバッハと、科学においても、いかに過去データや専門性に支えられていようと、問題となるのは「信」の程度なのだとするデ・フィネッティ。なんとも悩ましい対立だが、案外両者の立ち位置は近いところにあるように思われたりもするし、論文著者の意図もそのあたりにあるように思われる。司会のボレル（おそらくは論文著者の分身）は両者の議論が「経験論」の定義そのものにまで波及することを指摘して対話を締めくくっている。

思うところあって、ジャン・カヴァイエスの『論理学と学知の理論について』をヴラン社のポッシュ版（Jean Cavaillès, Sur la logique et la théorie de la science (Bibliothèque des textes philosophiques), J. Vrin, 2008）でざっと読んでみた（ざっと読んだ程度でわかるようなものではないのだけれど……）。すでに邦訳もあるけれど（構造と生成〈2〉論理学と学知の理論について (シリーズ・古典転生)、近藤和敬訳、月曜社、2013）、今回は原書のほうで見てみた。これは数学者としてのカヴァイエスによる、学知の根底としての論理学への批判の書、あるいは批判の史的展開と思想的展開をからめたマニフェストというところかしら。よくわからないなりに、主要なストーリーラインを追っておこう。カヴァイエスはまず、カントに導かれるかたちで学知の根底には論証の体系が、あるいは数学的な組織化が横たわっていると考えられるようになったと指摘する。前者の立場はボルツァーノからフッサールへ、後者の立場はブランシュヴィックからブラウアーへと継承されることになった、と。これは思想史的な分岐の出発点となり、両者それぞれの議論にその後精緻化が進み、とくに前者においては形式的存在論や直観主義などが必然的に導入されることにもなっていく。

前者はいわばライプニッツ以降の、合理性の領域から数が追われて無限が招き入れられるという状況のさらなる展開だともいわれる。ボルツァーノは学知の限界を初めて概念化し、集合論を取り入れてみせたが、それにより、学知というものがもはや人間精神と存在それ自体の中間物、固有の現実を欠いた中間物ではなく、自律的な運動を伴う独特の対象と見なされることにもなった。こうして学知はすべて論証、すなわち論理学に帰されることになったというわけだ。

しかし今度はそうした論理主義が批判の対象になる。そこでは特殊なものはすべて削除され、いわば形相と質料の分離はとことん突き詰められるしかない。形相=形式のみが残り、かくして数学は形式の体系でしかなくなり、形式主義の外部をなすような論証的認識の問題や、物理学など外部の学問との関係性などは未決定のまま放置されてしまう。やがてタルスキが嚆矢となって、形式的なものと、それに対して外部をなす、形式をつなぐシンタクスとの区別が導入される。しかしそのシンタクスにしても、抽象的な規則にとどまる限り、内実のない空虚なものでしかない。ではそうした形式的なものをまとめあげる根拠はどこに見いだされるべきのか。こうして形式主義は、再びその起源をなしていた「対象」、すなわち現実的な「モノ」を再び見いだすことになる……。

もちろんその手前には、フッサールによる論理主義と意識の理論の統合などがあり、対象すなわちモノは「カテゴリアル（apophantique）な実体」であると規定されなければならない。対象は単に個別のものを抽象化するのではなく、もう一段進んだ一般的事物（事象）だということになる。おお、これはまさしく先の朱子学での「性」（性善というときの）にも通じる、二重の抽象化ではないか！とにかくこうして「対象」（モノ）と、それを捉える合理的主体の自律性とがともに犠牲になることなく連なるようにできる。現実世界の認知が、ここに担保されることにもなる。

夏読書。だいぶ前に読みかけで放置してあったクセナキス『音楽と建築』（高橋悠治訳、河出書房新社、2017）をとりあえず通読。ヤニス・クセナキスといえば、建築家でもあった作曲家。同書はそのクセナキスの論考をまとめた日本版オリジナルの論集。数学への言及や数式が出てくる箇所が多々あり、難解な印象だけれど、そのあたりは多少ともスルーしながら読み進めれば、壮大なビジョンのようなものも浮かび上がってくる（どうせ細かいことは1回通読した程度ではまったくもって不案内にすぎないのだから、そういう大局的なところを楽しもう、というわけ）。というのもクセナキスは、古代音楽についての見識から出発して、ある種の音楽観を刷新しようと努めているからだ。

「メタミュージックに向かって」という論考では、紀元後数世紀までの古代の音楽が「旋法」（それは音階の型にすぎないとされる）ではなくテトラコルドに、そしてある種の「システム」にもとづくものだった、とクセナキスは喝破する。そのことが曇らされているのは、単旋律聖歌をもとにした中世以降の見識のせいなのだ、と。さらにそうした古代の音楽の「入れ子」状の構造がどんなものだったのかの記述を試みる。ここで参照されているのはアリストクセノスの音楽理論だ。それはさらに、ビザンツ音楽において、ピュタゴラス派の計算法と融合して拡張されていく様子をも描き出していく。

「音楽の哲学へ」と題された論考では、古代ギリシア思想の独自の総括のようなことを行っている。イオニアの哲学者たち（アナクシマンドロス、アナクシメネス）が、なにもないところから推論としての宇宙論を創造し、宗教や神秘主義に打ち勝つ道を開いたことを高く評価し、その推論を促した反問の技法が、ピュタゴラス教団の数の思想、さらにはパルメニデスの議論に結実したことを言祝いでいる。万事がなんらかの数であるという考え方と、感覚外の現実が「一つ」であるという究極の存在論は、現代にいたるまで（ときおり後退したりしながらも）手を変え品をかえ受け継がれている、とクセナキスは見る。一方でこの決定論的な地平に、表裏の関係にある純粋偶然が入り込む可能性も見いだされる。エピクロス、ルクレティウスによる「偏り」概念の導入だ。これもまた、パスカル、フェルマー、ベルヌーイなどによる精緻化を経て、「トートロジー的統一とその内部での永続的変奏原理」（p.63）とが織りなす、世界の様相が明らかになっていく。クセナキスはこうした考察をもとに、時間外構造（決定論的構造）と時間内構造（純粋偶然の折り込み）の概念を打ち立て、それをもとに音楽史の流れまでをも再構成しようとする。

ちびちびと原典読みをするのはなかなか楽しい。というわけで、このところ読んでいるのはセレノスの『円柱曲線論』。底本としているのは、同じくセレノスの『円錐曲線論』との合本になっている、つい最近刊行されたばかりの希仏対訳本（La Section du cylindre. La Section du cône (Collection des Universités de France grecque), éd. M. Decorps-Foulquier, trad. M. Federspiel, col. K. Nikolantonakis, Les Belles Lettres, 2019）。セレノス（アンティノポリスのセレノス、またはアンティノエイアのセレノス）は、後4世紀のローマ帝政期のギリシア人数学者。円柱曲線論、円錐曲線論の二作は、セレノスの代表作であり、唯一現存するテキストなのだとか。

まだ前半に相当する『円柱曲線論』の3分の1くらいしか読み進めていないけれど、内容的には幾何の教科書のようで、円柱を水平もしくは斜めに横断する断面がどのようになるのか、ということを、様々な例を挙げて多面的に解説していく。これとこれが平行関係なら、これとこれも平行になり、これとこれが同じ角度になる云々、といった記述が全編続いていく感じ。基礎的な幾何学なので、表記の癖のようなものに慣れれば意味を取るうえでそれほど問題はなさそうに思うが、思うにこれが文字だけの記述だったとしたら、理解するのも再現するのも難しかったろう。もちろんテキストには図がついている。これは校注版でもあるわけで、収録されている図版もきちんと整理され作図されているものになっている（18世紀の印刷本以来、そのようになっているらしい）。けれども、それだけいっそう、もとの手稿本はどんなだったろうか、と気になってくる。冒頭の解説序文によれば、現存するのは中世の写本ということで、それがオリジナルの図案をどれほど正確に伝えているかはわからないということだった。写本では距離の大小の関係などが正確には写し取られていない可能性が高いらしい。中世の写本工房では、もとの図の位置関係をそのまま保持しないのが通例だったからだ。また、円錐の底面などは、図案では楕円ではなく円で表されたりしているという。