「数の学」カテゴリーアーカイブ

数学とその外部

数学はなぜ哲学の問題になるのかイアン・ハッキング『数学はなぜ哲学の問題になるのか』(金子洋之、大西琢朗訳、森北出版、2017)を読み始めている。とりあえずざっと半分ほど。総じてハッキングの多弁かつ独特(ときにシニカル、ときに饒舌)な語り口がいかんなく発揮され、研究史的なエピソードが数多く散りばめられて面白くはあるのだけれど、全体の見通しはあまりすっきりとはしていない印象。さながら植物が成長し枝分かれしていくかのように、問題も枝分かれし茂っていって、見渡せないほどの全体像を形作るかのよう。まず第一章では、数学を永続化させているものは何かという問題に、作業仮説として「証明」と「応用」とが与えられる。すると今度はその「証明」に、デカルト的な証明(証明全体を明晰な確信をもって見て取るという種類のもの)とライプニッツ的な証明(ステップ別に配列された命題を一行ずつ機械的にチェックしていく種類のもの)という区分が導入される。どちらも数学史的にはそれなりの系譜を形作っているとされ(直観的なもの、形式的なものとして)、それぞれについて様々な変奏が史的に奏でられていく。すでにして錯綜感の予兆。第二章では、何が数学を数学たらしめているのかについての、歴代の思想からの解答が列挙されていくが、そもそも算術と幾何が一緒くたに数学の構成要素として取り上げられている点など、不分明なトートロジーのような議論が根底にあることが浮かび上がってくる。第三章で扱われる、数学の哲学がなぜあるのかという問題も、様々な立場が絡み合い、全体としてきわめて偶発的なものでしかないような、奇妙な風景を立ちのぼらせる。ハッキング自身は、この問題は「認知史」からアプローチするしかないと考えているようだ。総じてこのように、数学史、数学の思想史を限定的な学問史からではなく、より広範なインテレクチャル・ヒストリーから見直すべきだというのが、同書の基本的スタンスなのかもしれない。

そのことは第四章にも見て取れる。証明と題されたその章では、すでに同書のそれまでのページで偶有的な産物でしかないとされた証明についての、古代ギリシアからの「精神史」(とハッキングは呼ぶ)が開示される。たとえばタレスが工学に長けていたことをエピソードとして取り上げ、純粋に知的な数学史のみならず、古代工学史などをも参照すべきことを示唆したりする。プラトンはピュタゴラス主義に立脚し、世界の深層的本性を知るための(応用のためではない)数学として理論的な面を重視したとされるが、その背景には、アテネの民主制が議論をベースとし、そうした議論自体には決め手がなく、ただ雄弁術や欲望のみが決着をもたらしていたこと、またそうした事態を目の当たりにしたプラトンの、なんらかの危機感があったのだろう、といった話が取り上げられる。ギリシアが征服を免れていた理由としての海軍力、戦闘機械などと併せ、図が不可欠とされた古代数学の在り方や、そうした図を多用する特殊な形式論的な証明概念などを、再び問い直すべしと、同書は示唆し続ける。

次元を落とすという手法

現代数学への招待:多様体とは何か (ちくま学芸文庫)まったくの門外漢だが、思うところあって、志賀浩二『現代数学への招待:多様体とは何か (ちくま学芸文庫)』(筑摩書房、2013)に眼を通してみた。ごく基本的な部分の知識しかないので、わずかな部分しか理解できないのだが、こういうときには一種の「キーワード主義」という感じで、まずは中心概念を大まかに把握していくことが中心となる。そこからうっすらと立ちのぼってくるなんらかの風景を、まずはそれだけで味わってみるということになるわけだ。もちろんキーワード主義には弊害もあって、取りこぼす部分も多々あるのだけれど、最初のとっかかりとしては悪くない。で、そこからすると、同書は位相空間(位相多様体)がどのような諸特徴をもつのかについて、それを写像ないし微分によって次元を落とすなどの操作を通じて理解しようという試み、と括ることができる。その過程で様々な概念が数学的に定義し直され、それがちょっとした醍醐味になっている感じだ。

たとえば「近さ」。著者は通常の感覚でも、距離よりも「近さ」のほうが先立っているのではないかと言う(この日常的な感覚や、ありふれた事例がときおり差し挟まれるのが、とても興味深い)。数学的に表現される「近さ」は、任意の部分集合が、開集合を含む別の任意の部分集合に含まれるときに、最初の部分集合はその別の部分集合に対して近いと定義されるらしい。もう一つの重要なキーワードが「滑らかさ」。これもまた、多様体に当てはめられるときの数学的な定義が示され、微分可能な局所座標が与えられうるときに、その多様体は滑らかだとされる。いずれももはや抽象的な概念なので、なんらかの図や像として思い浮かべることはできない。けれども、抽象的な数学の世界ではそれは当たり前。そもそも球面の定義(たとえばx1^2 + x2^2 + x3^3 = r^2)にしてからが、第四のx4^2が加わっただけで(つまり四次元として表すだけで)図示はできなくなるけれども、そうした定義がありうること自体は字面から推測される。ここから、ある種の形式的な思弁の世界が拡がっていく。なんと7次元の曲面上には、次元を1つ上げると「滑らかな曲面」として見えてくるような異なる微分構造があるのだといい、すでに28個もの異なる微分構造があることが発見されているのだという。そうした未知の風景(当然ながら、もはや視覚によらない抽象的思弁の現れだが)は、まだまだ数多く見いだされるのだろうとされる。

上の個人的なキーワード主義的なアプローチも、こうしてみると同書が位相空間に対して行っている操作と、本質的なところでは案外違わないのでは、という気もしてくる(ホントか?)。このアプローチ、もちろん内容の精査にはほど遠いので、数式の厳密な理解など、対応できない部分はきわめて多岐にわたるのだが、少なくともある種「次元を落とす」手法として、上の内容に重なりうるのではないか、などと考えてみたりする。さしあたり、今のところはそれでよしということにしておこう(笑)。

直観主義と論理主義 – 2

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)アンソロジー『数学の哲学ーー存在論、真理、基礎』(Philosophie des mathématiques: Ontologie, vérité, fondements (Textes clès de philosophie des mathématiques))の第三部は、論理主義と直観主義それぞれの陣営から、リチャード・ヘックJr「フレーゲの定理への導入」と、ミカエル・デトレフセン「ブラウワーの直観主義」の仏訳を採録している。でもまずはそれらの前に置かれた、編者らによる解説から見ていく。これは両テキストの位置付けを解説したもの。まずヘックの論考は、フレーゲの論理主義そのものというよりも、その後の「新論理主義」からフレーゲを見直したものと位置付けられるのだという。論理主義の肝は、入れ子状の量化を扱える論理学の構築と、ペアノの公理(とくにその数学的帰納法の原理)の論理性の担保にあるとされるのだけれど、フレーゲは前者を満たすことには成功したものの、後者は満たしていないとされる。それぞれの概念に外延がある、というフレーゲの仮定には矛盾があるとするラッセルのパラドクスがその点を突いている、というわけだ。で、「新論理主義」は、フレーゲが準拠するヒュームの原理(一対一対応)が論証されれば、フレーゲが持ち出す「外延」(extensioin)は不要になるとの考え方から、たとえばクリスピン・ライトは60年代に、フレーゲの二階論理ヒュームの原理から、外延や集合を参照せずに算術を導けることを論証しようとした。ここが起点となって、新論理主義は多方向に分岐していくのだという。

解説によると、上のヘックの論考は、そのライトの議論がどのような点でフレーゲから逸脱しているのかを示しているといい、また論理学的定義が数の解釈だけでなく、数の本質の説明をもなそうとしている点をも強調していると指摘する。算術がフレーゲの体系の中で解釈できるだけでなく、算術が論理学そのものにほかならないことを示そうとしている、ということのようだ。

他方、直観主義の流れはこうだ。まず発端として、20世紀初頭にツェルメロが、任意の関数について、空でないあらゆる部分集合はより小さな要素を許容するという構造があるということ(選択公理)を主張した。ここから、構築手段なしに成立する実体がありうるとの主張が出てくる。集合や関数、数といった、数学者の活動に自然に相関するものは、その相関する活動から分離させて、あたかも独立して存在するこかのように考察することができる、というわけだ。実在論、あるいはプラトン主義的とでもいうべき考え方だが、一方ではこうした立場を拒む人々も出てくる。数学的実体はすべて構築されるべきものだと説く、アンリ・ルベーグ(プレ直観主義者とされる)などだ。ポアンカレも、論争に加わりはしなかったものの、同じように考えていたという。オランダの数学者ブラウワーも同じく、論理主義や集合論を否定する立場を取った。ブラウワーは、数学的知識はすべて、非言語的な性質をもった心的な構築物であり、最終的にその基礎は時間に関する直観にもとづいていると主張した。言語は他者が立証できるようにするための指示でしかなく、数学的営為はすべて一人称での経験にほかならない、と。

上のデトレフセンの考察は、このブラウワーの考え方をより緻密に説き明かすものだとされる。ブラウワーの直観主義が、その継承者たちが作り上げた直観主義的論理とどう一線を画しているのかがその中心的論点となるようだ。というわけで、いよいよヘックとデトレフセンの論考をそれぞれ眺めていくことにする。(続く)

直観主義と論理主義 – 1

現代思想 2017年12月臨時増刊号 総特集◎分析哲学ヴラン社刊『数学の哲学』でも第三部で取り上げているのが、直観主義と形式主義の問題。そちらを読み進める前に、ちょうど読み始めた現代思想 2017年12月臨時増刊号 総特集◎分析哲学』(青土社、2017)に、伊藤邦武「ラッセルとポアンカレ」という論考が掲載されていたので、まずはそちらからポイントとなる部分をメモ的に抜き出しておく。『数学の諸原理』刊行前に、ラッセルがポアンカレと論争を繰り広げていたという話なのだけれど、一般に論理主義vs直観主義とまとめられるその論争について同論考は紹介するとともに、改めて検証の必要を説いている。ポアンカレの立場は、絶対的真理と懐疑論の両極を否定して、その中間形としての「仮説」に、多重的な区別と役割を認めるというもの。ポアンカレは「仮説」に大きく三つの区分(つまり(1)検証可能なもの、(2)思惟を固定させるのに有益な道具となるもの、(3)実際には偽装された定義や規約に帰着するもの)を認める。このうち(2)は算術に、(3)は幾何学において重要だとされ、(1)が有用とされるのは、物理学(力学は除く)においてだという。

ラッセルは書評において、この(2)が、カント的な人間精神にアプリオリに存在する推論能力(数学的帰納法)を意味しているとし、その上で、精神の能力という概念が曖昧で、しかもたとえば無限を扱う場合にはそれでは不十分だと批判する。だからこそ、数学的真理には集合論を基礎とする論理学への還元が必要なのだ、というわけだ。これに対してポアンカレは、数学的推理から論理的要素を分離しようとする試み全般を批判する。まずもって数学的推論の論理学への還元はパラドクスをもたらすという難点がある。ポアンカレはそれが集合の分類における「可述性(prédicabilité)」の条件の曖昧さに由来すると考えた。しかしながら論文著者によると、ラッセルもそれを「悪循環原理」として認め、そこからタイプ理論を構築したといい、両者の立場の違いは直観主義vs論理主義を越えて、「可述主義」へと収斂していると見なすこともできるのではないかという。

両者はまた、幾何学と感覚的経験との関係についても対立しているという。非ユークリッド的な体系が見いだされて以来、人間の知覚経験をもととする空間の経験主義的な基礎付けは難しい問題になったというが、ラッセルはそうした基礎付けが可能だとの立場を取り、対するポアンカレは、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学とが形式的体系としては互いに等価で、知覚経験にもとづく検証や反証、優劣の判定は不可能だとの立場を取っていた。ポアンカレは、知覚的経験が把握するのは個別的対象にほかならないと考え、ラッセルのほうは、知覚的経験が把握するのは対象同士の関係そのものだと考える。なるほどこれは大きな認識論的違いだ。両者の間にはほかにも実無限をめぐる対立、さらには確率・蓋然性をめぐる対立もあったといい(ラッセルは、ポアンカレは確率に主観的解釈を施しすぎるとし、論理的分析としての客観的解釈を提唱していた)、論考ではそれらについても取り上げられている。

数学的対象の存在論 – 3

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)ヴラン社刊のアンソロジー『数学の哲学』(Philosophie des mathématiques: Ontologie, Vérité, Fondements (Textes clès de Philosophie des mathématiques))から。ヒラリー・パットナムの二篇の論考(「数学的真理とは何か」「論理哲学」)は、パットナム自身の基本的立場を明確に示したものと考えられる。それはつまり、数学には固有の対象物というものはなく、どのような定理を掲げることもありうるが、その実在を主張することはできない、数学者が主張しうるのは、あるものは「可能」、あるものは「不可能」ということだけだ、というもの。可能性の概念こそが基本的なものをなし、たとえば集合論の存在概念などは派生物と見なすことができるという立場だ。数の理論はすべて、可能性の言説として表される(「数学的真理とは何か」。この意味において、数学に限定するならば、パットナムは唯名論的な立場を取っているように見える。一方で、これが物理学などの具体的な対象をもった諸学に適用されるというような場合、数学と物理学は相互に密接に入り組んでおり、数学的には厳密に唯名論的でも、物理学的には直観的に実在論が幅を利かす(そもそも外部世界あってこその物理学ではある)。その意味で、物理学を支える実在論に引っ張られるかたちで、数学が実在論の側へと傾斜しているという感じになる。物理的な大きさを数値化するのであれば、関数や実数といった概念をも受け容れなくてはならない、と。ミニマリストな実在論という点で、それはクワインなどとも響き合う……のかな(?)。

続くハートリー・フィールドについては、以前「唯名論」としてメルマガで取り上げたことがあるのでとりあえず割愛。その次に採録されているマーク・ステイナーの論もなかなか面白い。そこでは、物理的世界への数学の応用が、アナロジーにもとづいてなされることが論じられる。現代の物理学的な発見において、数学的アナロジーは不可欠な要素をなしているのではないか、というのだ。数学的アナロジーは、ときに物理的なベースを有することもあるというが(上のパットナムに通じるスタンスだ)、そのようなベースをもたない形式的なアナロジーもありうる、とステイナーは考える。そしてこの無基底な形式的アナロジーこそが、現代の物理学の発見の重要な要因をなしている、と主張する。ここで数学は純粋に唯名論的なものとされ、それがある意味偶有的に用いられることで、物理世界の発見が開かれるという仮説だ。ディラックの量子力学のほか、シュレディンガー、マックスウエルなどの理論が具体的な事例として挙げられ検討されているが、数学の抽象化された(唯名論的)対象が、物理世界に適用されるときの偶有性(なにしろ無基底なのだから)に焦点を当てているところがとても興味深い。ステイナーの議論では、上のパットナムとは逆に、数学の唯名論が物理学を引っ張って傾斜させている、というふうにも読める。その意味では拮抗する立場と言えるかもしれないが、いずれにしてもこれら唯名論と実在論の揺れ動きはそれ自体、微細な議論の空間を開いているようで興味は尽きない。

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