「論理学系」カテゴリーアーカイブ

直観主義と論理主義 – 2

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)アンソロジー『数学の哲学ーー存在論、真理、基礎』(Philosophie des mathématiques: Ontologie, vérité, fondements (Textes clès de philosophie des mathématiques))の第三部は、論理主義と直観主義それぞれの陣営から、リチャード・ヘックJr「フレーゲの定理への導入」と、ミカエル・デトレフセン「ブラウワーの直観主義」の仏訳を採録している。でもまずはそれらの前に置かれた、編者らによる解説から見ていく。これは両テキストの位置付けを解説したもの。まずヘックの論考は、フレーゲの論理主義そのものというよりも、その後の「新論理主義」からフレーゲを見直したものと位置付けられるのだという。論理主義の肝は、入れ子状の量化を扱える論理学の構築と、ペアノの公理(とくにその数学的帰納法の原理)の論理性の担保にあるとされるのだけれど、フレーゲは前者を満たすことには成功したものの、後者は満たしていないとされる。それぞれの概念に外延がある、というフレーゲの仮定には矛盾があるとするラッセルのパラドクスがその点を突いている、というわけだ。で、「新論理主義」は、フレーゲが準拠するヒュームの原理(一対一対応)が論証されれば、フレーゲが持ち出す「外延」(extensioin)は不要になるとの考え方から、たとえばクリスピン・ライトは60年代に、フレーゲの二階論理ヒュームの原理から、外延や集合を参照せずに算術を導けることを論証しようとした。ここが起点となって、新論理主義は多方向に分岐していくのだという。

解説によると、上のヘックの論考は、そのライトの議論がどのような点でフレーゲから逸脱しているのかを示しているといい、また論理学的定義が数の解釈だけでなく、数の本質の説明をもなそうとしている点をも強調していると指摘する。算術がフレーゲの体系の中で解釈できるだけでなく、算術が論理学そのものにほかならないことを示そうとしている、ということのようだ。

他方、直観主義の流れはこうだ。まず発端として、20世紀初頭にツェルメロが、任意の関数について、空でないあらゆる部分集合はより小さな要素を許容するという構造があるということ(選択公理)を主張した。ここから、構築手段なしに成立する実体がありうるとの主張が出てくる。集合や関数、数といった、数学者の活動に自然に相関するものは、その相関する活動から分離させて、あたかも独立して存在するこかのように考察することができる、というわけだ。実在論、あるいはプラトン主義的とでもいうべき考え方だが、一方ではこうした立場を拒む人々も出てくる。数学的実体はすべて構築されるべきものだと説く、アンリ・ルベーグ(プレ直観主義者とされる)などだ。ポアンカレも、論争に加わりはしなかったものの、同じように考えていたという。オランダの数学者ブラウワーも同じく、論理主義や集合論を否定する立場を取った。ブラウワーは、数学的知識はすべて、非言語的な性質をもった心的な構築物であり、最終的にその基礎は時間に関する直観にもとづいていると主張した。言語は他者が立証できるようにするための指示でしかなく、数学的営為はすべて一人称での経験にほかならない、と。

上のデトレフセンの考察は、このブラウワーの考え方をより緻密に説き明かすものだとされる。ブラウワーの直観主義が、その継承者たちが作り上げた直観主義的論理とどう一線を画しているのかがその中心的論点となるようだ。というわけで、いよいよヘックとデトレフセンの論考をそれぞれ眺めていくことにする。(続く)

心的な動きと実践的三段論法

心の論理―現代哲学による動機説の展開前に取り上げた『推論主義序説』もそうだけれど、心的な動きを論理の側面から精緻化しようとするというのは、このところ注目している一つの流れ。そういうことが解釈できるだけの材料が、哲学史的にもそろい踏みになっているということなのだろう。というわけで、これもまたそういう領域に挑んだ一冊。金子裕介『心の論理―現代哲学による動機説の展開』(晃洋書房、2016)。人が行為にいたる素朴な論理の道筋は必ずしも明瞭に分節化されるとは限らないけれど、それをなんとか緻密に理論化しようという試みなのだが、同書ではそのために、現代思想の枠組みに古典を注ぎ入れてみせる。なんとも大胆なメソッドだ。著者はまずアンスコムやデイヴィドソンの議論(実践的三段論法)から出発し、規範的な力とは何かという問いを据えて、オースティンの言語行為論すらをも乗り越えようと試みる。いったんはベンサムの功利主義にまでたどり着くかと思いきや、そこからさらに「規範」の根拠を見据えるべく、カントを再考する。こうして、通常の論理的推論では却下される「個人」から「万人」への推論的拡張が、実践的三段論法において規範的な力をなしているということを明らかにしてみせている。もちろんそれぞれの論者の議論はやや図式的にサマライズされているし(その是非について批判もあるのかもしれないが)、その行き着く先も、着いてしまえばさほどの意外性はないけれども、それらの議論の狭間を巧みに縫って進むような展開は実にスリリングだし、それを軽快なテンポで読ませてくれるその語りが秀逸。

推論の内実

推論主義序説 (現代哲学への招待 Great Works)またまた読みかけだけれども、ロバート・ブランダム『推論主義序説 (現代哲学への招待 Great Works)』(斎藤浩文訳、春秋社、2016)を見ているところ。原著は2002年刊。文章が少し固い印象で、読み進むのがときおり難儀に感じられるような箇所もあり、できればもう少しこなれていてほしい気もするが、それはともかく、プラグマティズムの一分派だというこの「推論主義」、文の概念的内容を、その文の要素である名辞や述語などからボトムアップ的に考える従来の「表象主義」でなく、それを逆転させるかたちで、文が担う機能的・使用的な面から、この場合なら推論という表現の関係性からトップダウン的に意味を考えるという立場のことを言うらしい。ここでの「推論」も、従来のような論理的能力をベースに、合理的・形式的な推論の規則を記述していくというものではなく、より実質的・実践的な、よりしなやか・細やかで暗黙的な表現の繋がりのようなものを考えているように思われる。

だいぶ前に、ロボットなどの制御システムの構築にあたって、すべてのステップを分岐させて細かく網羅的にプログラミングするのではなく、素材のもつ弾性などを利用できる場合には利用するという発想の転換(シンプルデザインみたいな名前がついていたような気がする)によってプログラミングのステップを縮小・効率化する、みたいな話があったが、この推論の考え方はそれに重なるようにも思える。条件法をもとにすべての分岐を事細かく形式的に記述していくのではなく、概念内容に暗黙的に含まれるもの(「ピッツバーグがプリンストンの西にある」なら、「プリンストンはピッツバーグの東にある」が推論されるのは、「東西」の概念内容にもとづく推論だとされる)などはそのまま実質推論として受け止める、という発想であるように見える。確かに、ごくありふれた自然な、あるいは日常的な推論というものは、形式的に込み入った記述で成り立っているのではなく、もっと「シンプル」だと思われる。そこを掬い上げようという方向性には、ある種の共感を覚える。もちろん、それが哲学的な記述の体系としてどうなのかはまた別の問題になってくるのだろうけれど……。こうした実質的な推論の内実から出発して、同書は最終的に、その考え方からどのように末端の名辞や述語の意味論が導けるか、というところまで行くようなので(冒頭のほうでそのような宣言がある)、個人的には楽しみな展開でもある。メモるべきことがあればまた取り上げよう。

分析神学、分析宗教哲学?

分析美学も聞き慣れないものだったけれど、さらには分析神学、分析宗教哲学なんてものまであるようだ。マックス・ベイカー=ヒッチ「分析神学と分析宗教哲学:違いは何か」(Max Baker-Hytch, Analytic Theology and Analytic Philosophy of Religion: What’s the difference ? in Journal of Analytic Theology 4, 2016)という論文が公開されている。具体的な学問領域の定義はともかく、少なくとも両者がかなり微妙な境界線をもっていることだけは同論考から窺える。もちろん両者は分析哲学系のアプローチ(とくに可能世界論など)を踏襲したものらしく、同著者によれば、とくに分析宗教哲学は「神、死後の生、宗教的信仰、信条、宗教体験など、宗教的に意味のあるトピック」を扱う分析哲学の支流ということらしい。また、有神論全般を扱うのが分析宗教哲学だとすれば、とくにキリスト教の宗教的伝統に見られる神についての主張にまつわる諸問題を検討するのが分析神学だという。で、同論考は、両者の違いをまさしく分析哲学的な観点から掬い上げようとしているかのようだ。その大きな部分を占めるのが方法論的な違いなのだけれど、問題となっているのは聖書や伝承の扱われ方。聖書の命題を基本前提と見なすかどうかや、聖書の命題が特定の主張のみについての真理論になっているか、聖書が一般的に信頼しうる出典として認められるかどうか、認める場合に、それが認識論的循環論法として認められているのか、それとも非循環論法か(聖書以外の史料などを用いるか)などの分岐でもってケース分けを行い、分析神学と分析宗教哲学の境界線を確定しようとしている……わけなのだけれど、うーむ、やはりこれだけでは今一つピンと来ないか……(当たり前か)。やはりそれぞれの具体的な論考などを見てみないと。というわけで、これもまた個人的に、探求領域の拡大として少し面白そうな予感がする(?)。

共義語の意味論

久々に、自立的(カテゴレーマ)意味と共義的(シンカテゴレーマ)意味の話。ちょっとややこしいものの、両者の違いは、たとえば「無限」概念で考えるとわかりやすい。実体的な「無限なるもの」を意味するのが前者の場合で、後者は、ある要素nがあったときに、常にn+1がありうることを意味する。ではほかの概念で見たらどうなのだろう、そこにはどんな意味論的な問題が絡んできたりするのだろうか……というわけで、アンナ・マリア・モーラ=マルケス「ダキアのボエティウスおよびラドゥルフス・ブリトによる普遍指示子論」(Ana María Mora-Márquez, Boethius of Dacia (1270s) and Radulphus Brito (1290s) on the Universal Sign ‘Every’, Logica Universalis, 2015)という論考を読んでみた。これは共義語の一つである、「あらゆる」を意味するomnis(英訳でeveryとされている)をめぐり、13世紀の論者たちの扱いにおける違いを二派の間で際立たせてみようという一篇。取り上げられるのは、一方がペトルス・ヒスパヌスとシャーウッドのウィリアム、それらとの対比をなすのが表題にもあるダキアのボエティウスとラドゥルフス・ブリト(ブルトンのラウル:13世紀後半にパリで活躍した文法学者。当時は影響力のあった人物とされる)。同論考によれば、前二者はomnisを普遍性を示す語ととらえ、それが修飾する名辞がなんらかの「本質」(類もしくは共通項)を表す限りにおいて、その名辞が複数化されていることを示す働きをもっていると考えた。で、当時盛んに議論された意味論上の問題となったのが、(1) omnisは共通項を「種」や「個」に分散しているのか、(2) omnisを用いた文が真となるには、共通項に三つないしそれ以上の、現実態として実在する例化が必要か(つまり単一ないし二つのものにはomnisは使えないか)、といった問題。シャーウッドやヒスパヌスの立場は、(1) 厳密には分散は普遍の範囲内なので、種どまりであり、数的な個には至らない、(2) 類が種に、さらに下位の種に、そして個へと分割されることから、例化の具体的な数にかかわらずomnisを用いた文は真でありうる(たとえば月や太陽のような単一のものにも、用いることはできる)というものだった。

両者は論理学的な分析で意味論へとアプローチするのだけれど、これがダキアのボエティウスやラドゥルフス・ブリトになると、分析の仕方はより統辞論的になるという。つまりomnisは名辞を形容する(複数化を表す)というよりも、文において名辞の存在様態を表すという扱いになり、共義的な側面がいっそう強調されるらしい。「あらゆる人間は走る」という文において、「あらゆる」は「人間」を量化するという以上に、「人間」と「走る」の間の関係性(属性)が普遍であることを示すもの、とされる。omnisが普通名詞に添えられることで、(1) 本質があらゆる個へと複数化されているという理解の様態が示唆され、そこですべての個との関係として普遍が示されることになる。すると、(2) 一つの例化があればそれで普遍を表す文が真であることを示すには十分だということになる(これはアヴィセンナの本質についての解釈に呼応する考え方だという)。例化についてはさらに、時制に絡む問題(例化は現在のほか過去や未来のものにも及ぶかなど)や、普遍文から個的な文への推論問題などもあるようで、同論考の末尾はそれらの詳述に当てられている。とくに後者では、文として考えた場合、omnisを用いる普遍文から個に関する文、あるいは単称文を推論として直接導くことはできないという逆接的な議論(!)が、ボエティウスとブリトによって示されている。

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