このところ、Loeb版の『ギリシア数学作品集』第二巻（Greek Mathematical Works: Aristarchus to Pappus (Loeb Classical Library), Harvard Univ. Press, 1941-1993）を読んでいた。サモスのアリスタルコスからパップスまでの一大アンソロジー。ここでのギリシア数学は、とくに幾何学系の面白い問題を提示してはそれを証明していく感じなのだけれど、アプローチが独特で、字面をただ追っていってもなかなか腑に落ちてくれない（苦笑）。様々な約束事がわかっていなかったり、ある一つの問題が他の問題の補助的議論になっているといった関係性がちゃんと見えていなかったりするからなのだろうなとは思うのだけれど……。それでも、たとえばエラトステネス（紀元前三世紀）の2地点の弧から地球の大きさを計算する試みとか、アレクサンドリアのヘロン（紀元前二世紀？）による近似の図形を用いた面積計算や歯車を用いた力学的記述、ディオパントスの煩雑な表記法などなど、各数学者の発想の豊かさはとても面白く刺激的だ。

同書にはアルキメデスの著作からもテキストが多く収録されていて、たとえば回転放物体の体積問題では、その体積が、内接する円錐の体積の1.5倍（つまり2分の3）であることを論じていたりするのだけれど、そのやり方が興味深い。1.5倍に等しくない場合、それよりも大きいか小さいかしかなく、それらがともに矛盾をきたすとして等しいことを証すというやり方だ。で、これに関連して、斎藤憲『アルキメデス『方法』の謎を解く (岩波科学ライブラリー)』（岩波書店、2014）という概説書も見てみた。こちらは、20世紀初頭に見つかってその後行方が知れず、98年に再発見されたというパリンプセスト写本に含まれているという『方法』という従来知られていなかった著作を取り上げつつ、アルキメデスの「方法」論の全体をわかりやすくまとめている優れもの（アルキメデスのルネサンス期以降の再発見と継承・発展についてもわずかながら触れられている）。これによると上の円柱と円錐の関係の証明は、「二重帰謬法」と称されるものらしい。アルキメデスが多用する論証方法の一つのようだ。また、アルキメデスには上のヘロンが用いているような近似図形の組み合わせによる求積法もある（そちらの実例も上のLoeb版で読める）のだけれど、なんといっても興味深いのは、その再発見された写本『方法』に記されているという「仮想天秤のテクニック」なるもの。回転立体を右において、任意の場所で輪切りにしたものを仮想的に左に移しかえることで、両者のバランスが取れる点を特定し、それによって両者の体積比がわかるというもの。この方法は重心を求める計算にも使われているという。ちょっと面白いのは、アルキメデスがこれを証明ではなく「発見法」にすぎないと考えていたらしいということ。著者斎藤氏によれば、ギリシア数学の文献は最終的な証明だけを記し、どう発見されたかは記されないのが普通だとのことで（p.95）、この『方法』ではその発見法が説明されていることも重要なのだという。