数学的対象の存在論 – 2

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)ガンドン&スマジャ編のアンソロジー『数学の哲学』(ヴラン社、2013)から、ポール・ベナセラフの「数学的真理」(抄仏訳)を見てみた。これもまた大変興味深い一篇。「ニューヨークよりも古い都市が少なくとも三つある」という命題1と、「17よりも大きな完全数が少なくとも三つある」(この場合の完全数は、自身を除く約数の和が自身と一致する数、ということだろう)という命題2は、文法的・論理的には同形(「aに対してRの関係にあるFGが少なくとも3つある」命題3)なのだが、命題1と2はどういう条件のもとに真理値を取るかという点で異なっているか、とベナセラフは考える。とりわけこの命題2は、通常の経験論的な意味論として命題1を解釈するようには解釈できない。経験論的に導き出すことができない以上、その命題を導きうるような、すでに知られたなんらかの定理が必要とされるからだ。そうしたなんらかの定理をpとするならば、pには、真理の定義にもとづいて真であるという「条件」がなければならないし、また、pが知られていると言いうる「根拠」が与えられなくてはならず、その「条件」と「根拠」が結びついていなければならない。しかしながらpそれ自体と、原理にもとづくpへの信頼との間の関係は、確立されなくてはならないにもかかわらず、そのままでは確立されえない……。こうして命題2が真である根拠はすでにして宙に浮いてしまう。標準的な(意味論的な)理解と数学的真理の理解とを結びつけようとしたところで、数学的知識がいかに得られるのかがかえって見えにくくなってしまう。第二部冒頭の編者解説によれば、通常の言語活動と数学的言語活動の乖離というこの立場は、さらにヒラリー・パトナムにも共有されて、折衷案的な「実在論」(純粋に唯名論的ではないという意味での)の流れを形作っていくらしい。というわけで、同アンソロジーはこの後にパトナムの議論が続く。