「数の学」カテゴリーアーカイブ

不可分論の黎明?

少数派とはいえ、一四世紀にそれなりに議論を展開する例の不可分論の陣営について、その発端はどこにあるのかを知りたいと思い、グルヤール&ロベール篇『中世後期の哲学・神学における原子論』(Grellard & Robert(ed), Atomism in Late Medieval Philosophy and Theology, Brill, 2009)という論集を見始めている。とりあえず最初のマードック「アリストテレスを越えて;中世後期の不可分なもの、および無限の分割性」と、レガ・ウッド「不可分なものと無限:点に関するルフスの議論」の二章を読んだだけなのだけれど、なかなか面白い。まず、マードックのほうは主な不可分論者、アンチ不可分論者をチャートでまとめてくれているほか、いくつかの当時の論点を紹介し、論者たちのスタンスと何が問題だったのかを、アリストテレスからの距離という形で、著者本人言うところの「カタログ」として提示してくれている。ギリシアの原子論にはパルメニデスの一元論への対応や自然現象の説明といった動機があったといい、アラブ世界の原子論(ムタカリムンという学者たち)には連続的創造という教義を通じて、すべての因果関係を神の一手に委ねるという意図があったというが、中世後期の原子論(ないし不可分論)にはそのような大きな、確たる動機が見えてこないらしい。とまあ、いきなり肩すかしを食らう(苦笑)も、気分を取り直して見ていくと、やはり嚆矢とされるのはハークレイのヘンリー(1270 – 1317)だということで、その「無限の不等性」議論などはやはり注目に値するものらしい。これはつまり、連続した線が無限の不可分の点から成るものの、異なった長さの二つの線を比べること、つまり無限同士の比較が可能だという話。ヘンリーは点同士が隣接できるとし、点が互いに接し居並ぶことによって大きさが増えると考えていたという。このあたり、神学も絡んで結構複雑な話が展開しているようだ。

ウッドの論考は、一四世紀の議論の大元のひとつとなったコーンウォールのリチャード・ルフス(1260頃没)の議論を紹介しまとめている。著作から読み取れるその議論は、必ずしも一貫してはいないようで、詳細な説明がない場合もあるようなのだけれど、各著作の摺り合わせを通じて、最適解を作り上げようとしている。それによるとルフスは点を「位置を取る限りで実体のもとにある」と考えているといい(点はもちろん不可分なものとされる)、点が直線の「質料因」(つまり起点をなしているということ)だという言い方をしていることから、唯名論的な概念世界ではなく、外部世界の形而上学的説明を目してることが考えられるという。点は無限に繰り返されて直線をなすのではなく、質料の点的な位置取りが繰り返されて線ができるのであって、点そのものが線を作るのではないとしているという。また球と線が接する場合についても、接するとはそもそも運動であり、接する不可分なものは連続的に移っていくのであって、連続体として(線の流れで?)接するのだと考えているという。このあたりは相変わらず微妙にわかりにくいところではある……。

ヤコポ・ダ・フィレンツェ

イエンス・ヘイラップ「ヤコポ・ダ・フィレンツェとイタリア固有の代数学の始まり」(Jens Høyrup, Jacopo da Firenze and the beginning of Italian vernacular algebra, Historia Mathematica, vol. 33, 2006)(PDFはこちら)という論文に目を通す。1307年にモンペリエで書かれたという、ヤコポ・ダ・フィレンツェなる人物の代数学の書は、当時知られていたアル・フワーリズミーの『代数学』や、アブー・カーミル、さらにフィボナッチなどのものと違う「解法」が記されているといい、しかもそれが俗語(イタリア語)で書かれていて、ほかの代数学とは別筋の系譜があったことを思わせるのだという。で、それを文献学的に考察しようというのがこの論文。注目されるのは基本となる6種類の方程式の提示の仕方で、このヤコポの場合、アル・フワーリズミーとアブー・カーミルが示す順番(フィボナッチも一箇所だけ違うのみでほぼ同じ)とはまったく違う順番で示しているのだという。しかも、ほとんど専門的な記号などを用いず、商業関係の具体的な利益とか財産の話などでそれを示しているのが特徴的なのだそうだ。また、ラテン語で書かれた代数の書と大きく違う点として、解法の正しさを示す幾何学的な証明がいっさい用いられていないことも挙げられるという。

そんなわけで論考は、文献学的な対応関係からヤコポがどんなソースを用いているのかを考察しようとするのだけれど、ヤコポの書の細かな諸特徴は個別に見ればアラブ系の文書にも見つかるとはいうものの、それらが一緒くたに入っている文書(つまりはソースの可能性が高いもの)というのはまだ見つかっていないのだという。また、ヤコポ後のイタリアの代数学の書を見ると、いずれもヤコポを出典として用いていることから、ヤコポの独自性がいやが上にも際立ってくるのだともいう。ただ、1344年に書かれたダルディ・ダ・ピサという人物の代数学はヤコポそのものに依拠しておらず、もしかするとヤコポが用いたものと共通の文書に依拠している可能性もあるのだとか。うーむ、文献学的な議論の面白さと、数学の文書の読み解きの難しさを改めて認識させてくれる(笑)興味深い論考だ。ちなみに論文著者は、このヤコポのテキスト(ヴァチカン写本)のトランスクリプションもPDFで公開している。さらにその翻訳を含む研究書(Jacopo Da Firenze’s Tractatus Algorismi and Early Italian Abbacus Culture, Springer, 2007)も出版されている。

ボイヤーの数学史

ちょっと思うところあって、カール・ボイヤー『数学の歴史』(加賀美鐵雄ほか訳、朝倉書店)から、古代末期・中世までを扱った2巻と、ルネサンスから17世紀前期までを扱った3巻の冒頭部分まで(16世紀前半あたりまで)をざっと眺めてみた。2009年の新装版。原著は1968年ということだが、久々に中世暗黒史観を目にした感じで、ちょっとくらくらした(笑)。ボイヤーはあまり中世は好きではないのか、なにやら言葉の端々に皮肉が込められたりして、全般に実に評価が低い。ギリシア数学は高く評価しつつ、それが古代末期に失われてしまうのを嘆いている(ま、さもありなんだが)。古代末期から中世への橋渡しをなしたとされるボエティウスにしても、『算術論』が初歩的なものにすぎない、などと遠慮がない。で、ボエティウスの死は古代数学の終末だったとし、弟子のカッシオドロスの自由学科の解説など「とるに足らない」、セビリャのイシドルスの『語源録』は「程度の低い著作」だと一蹴されている。で、初期中世は科学の「暗黒時代」だと言って憚らない。うーん、数学的見地から見て、ということなのだろうけれど、それにしてもカッシオドルスやイシドルスの著作の意図(初学者への手引き)からすれば、それはちょっと筋違いというか、酷なのではないかとも思う。とはいえそんな初期中世の「暗闇」の中、ベーダの著書だけは評価されていたりする(笑)。

個人的関心からすると、むしろ中世盛期から末期にかけてが気になるところだが、やはりフィボナッチことピサのレオナルド(13世紀)あたりからが本格的な話になる。とはいえ、その『算盤の書』は「現代の読者にとって読むに値する本ではない」とこれまた少々手厳しい(ま、それはそうなのですけれどねえ)。一方で『平方の書』は「すばらしい著作」と評価していたりもする……。さらにその後はトマス・ブラッドワーディンとニコル・オレームをやや詳しく取り上げている。続くルネサンスでは、まずレギオモンタヌス。それに次いで幾人かが紹介されて、ニコロ・タルターリアとカルダーノに比較的多くのページが割かれている印象(三次・四次方程式の話)。等号の記号を使った嚆矢として紹介されているロバート・レコード(16世紀)が、ブラッドワーディン没後の二世紀間停滞していたイギリスの数学に突如現れたきら星として描かれていたりして面白い。なるほどボイヤーは、なにかこの断絶の相を見て取ることに長けているのかもしれないなあ、と。