数学的対象の存在論 – 1

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)大幅に間が空いてしまったが、ヴラン社刊行のアンソロジー本『数学の哲学ーー存在論・真理・基礎』(Philosophie des mathématiques: ontologie, vérité et fondements (textes clès de Philosophie des mathématiques), éd. S. Gandon et I. Smadja, Vrin, 2013)から、冒頭のポール・ベナセラフの少し変わった論考を読む……ということでアウトライン的なメモを。最初に二人の子供が、算術そのものではなく集合概念から入るかたちで数学の基礎を学んだと仮定する。次に今度は、彼らが一通りの演算などを学んだあとで、数そのものを問う問題(「17に3が含まれるかどうか」)を突きつけてみると、両者の見解が分かれたと仮定する。これ自体は虚構というか思考実験なのだけれど、両者の見解(一方は、3というのは17が表す集合の部分集合をなすので、17に含まれると言い、もう一方は、数というのは一つの要素から成る集合であって、隣接するもの以外には含有の概念はありえず、ゆえに3は17には含まれないとする)は、確かにどちらもありゆるような感じではある。どちらもそれまでの前提(集合論)から派生しているからだが、厄介なのは、そのままではどちらが正しいとか決定づけることができないこと。というか、決定づける基準がない。両立はそもそもありえない……。ここでベナセラフは、数を個別要素から成る集合とする考え方を斥けなくてはならないのでは、とアプローチする。

XとYがイコールであるという場合、XとYは同じタイプとして同一のカテゴリーに属するとされる。個別化している事物が同一と見なされるのはそのような場合のみだ。では、数はそのような事物であると考えてよいのだろうか。これにイエスと答えるのがフレーゲ的な立場(「数とは対象である」)だとベナセラフは言う。そしてそれを批判していく。同一性という概念は、繰り返しになるが、それが適用される事物同士が同一カテゴリーに帰属することを前提とする。カテゴリーへの帰属は、理論によって支えられなくてはならない。しかしながらそうした「事物」(あるいは対象、実体でもよい)は、いわば穴埋めの仮概念にすぎず、厳密さを欠いている。もちろん同一性の議論は、狭い定義の範囲でなら論理学的な関係性として、あらゆる学問に適用可能なものではある。ただしその場合、対象、あるいは個物として挙げられるものを決定づけるのは、その当の学問、当の理論にほかならない。ここがミソだ。

数についてはどうか。数が集合と同じカテゴリーに入るということ自体が未決定である限り、上の「17に3は含まれるか」という問いの答えは、意味をなさないか誤りかのいずれかでしかなくなる。数についてのある体系が適合的であることが分かったからといって、数そのものが何であるかということが分かるわけではない。数学者の関心はそうした体系・構造の段階でとどまってしまい、個々の数には向かわない。かくして数は対象には据えられない(フレーゲ的立場に反して)。個別の数を特定の(あれではなくこれというふうに)個別の事物に対応させる理由はどこにもない、とベナセラフは考える。数の属性をいくら言いつのったところで、それは単に抽象的な構造を特徴づけるだけなのだ、と。なるほどこれは面白い論点だ。このような周到に回り込んで結論にもっていく方途そのものに、数学の哲学がもつ面妖さが窺えるという点でも、興味深いかもしれない(笑)。さしあたり、もう一つ採録されているベナセラフの議論も見てから改めて全体を考えることにしよう。

禁書目録のせめぎ合い

禁書: グーテンベルクから百科全書まで前アーティクルに続き、これも宗教改革がらみの一冊を言って差し支えないかと思われるのが、マリオ・インフェリーゼ『禁書: グーテンベルクから百科全書まで』(湯上良訳、法政大学出版局、2017)。原著は1999年刊。活版印刷発明後における教会当局の検閲に関して、地域を限定することなく各地の様々な動きを俯瞰的に描き出している。個人的に興味深いのは、「文化追放」と題された第二章に描かれる禁書目録の変遷。メモ的に列挙しておくと、まず目録が作成されるようになるのは1540年代からだという。1549年にヴェネツィア共和国で印刷された目録は約150冊の禁書を挙げていて、印刷はされたものの、共和国の元老院や書籍商などからの反発で、公布されることはなかった。ローマ教皇庁から出された禁書目録(1554年)も、パウルス四世のもとで進められていた全世界共通の方法の整備を待ったがために、やはり公布されなかったのだとか。最初のローマの目録は1559年に公布され(パウルス目録またはローマ目録)、約一千剳の禁書を挙げていたという。

17世紀ごろまでこのローマ系の目録は構造的に変化がなく、3つのグループ(非カトリックの著者、無名著者のもの、そして禁書総覧)に分かれていたという。それにしてもそのローマの目録。ヴェネツィアなどを中心に、書籍商や文学者・研究者などが反発し、宗教家たちとのせめぎ合いなどもあって状況は流動化し、たとえば新しい目録編纂の作業は異端審問所ではなく、トレントの公会議の最終段階に臨んでいた司教たちに委ねられたりもするようだ。こうしていくらかの譲歩をともないつつ、1564年にはローマ目録の改訂版のようなトレント公会議の禁書目録が公布される。フランスはこの目録を認めず、またスペインやポルトガルなどは独自の目録を作っていて、俗語の文学作品を注視したり、神秘主義系の著作を厳しく統制しようとしたりしたという。

その後、トレント目録の続編を1596年にクレメンス八世が公布する(クレメンス目録)。それまでは、トレント目録の方針を守ろうとする人々と、より厳格なパウルス目録に戻ろうとする人々との間で対立が深まっていた。結果的にクレメンス目録は、その折衷案的なものになったようだ。このように、目録の成立一つとってみても、そこには様々な力関係の駆け引きが作用している。検閲そのものをめぐる動きもまたしかり。書籍流通量の増大がもたらした反動的な統制意欲は、こうしてリアルポリティクスの中で揉まれ、その結果妥協の産物として変形された表現形が与えられる。その複合的で微細な力学こそが、歴史の醍醐味であることを改めて想う。

トレント公会議と政治

思想 2017年 10 月号 [雑誌]きたる10月31日は、ルターの『95箇条の提題』がヴィッテンベルクの城教会の扉に貼り付けられたとされる1517年10月31日からちょうど500年。これが宗教改革の出発点だったということで、今年は宗教改革500年のメモリアル・イヤーにされているわけだけれど、厳密に考えるなら異論も出そうだが、もちろんこういうお祭りがあってもよい。ルターの著書の邦訳(『宗教改革三大文書 付「九五箇条の提題」 (講談社学術文庫)』、深井智朗訳、講談社、2017)など、関連出版などが相次いでいるのは歓迎したいところでもある。というわけで、とりあえず個人的には岩波書店の思想 2017年 10 月号 [雑誌]』(特集「宗教改革500年−−社会史の観点から)を眺めてみた。個人的に興味深かったのは、渡邊伸「全体に関わることは全体で決めるべきだ−−公会議問題から見たドイツ宗教改革の展開」。トレント公会議が開催されるまでの、プロテスタントとカトリック、そして世俗の政権が入り乱れる複雑な経緯を、ドイツ国内の動きを中心に詳述している。論文著者によると、そこには「信仰問題が帝国内の問題に収斂していった経緯」が見られ、トレント公会議は「普遍性を主張する中世世界から個性を主体とする近代世界への転換」点にあたるとされる。同論文の最初のほうには、公会議の問題について、議決を通して考察する研究が見当たらないと指摘されていてちょっと衝撃を受ける。手つかずの空白領域がそんなところにもあるとは……。

トレント公会議これを受けて読み始めたプロスペリ『トレント公会議』(大西克典訳、知泉書館、2017)は、抑制の利いた簡潔な文体で、やはり宗教世界と世俗世界との確執を描き出している。まだ冒頭部分だけだけれど、面白い指摘が多く、たとえばニュルンベルク帝国議会(1522)の後に公会議の開催を要求したのがドイツ諸侯で、しかもその会議の中心的な目的は何なのかははっきりしていなかった、といったくだりが印象的だったり。教皇周辺には開催に消極的な筋があり、和解を求めてカール5世の宗教政策を支持した一派もあり、また情勢の変化(ルターの死や宗教対話の失敗)によって力関係も変わったりしながら、公会議開催についてのある意味リカーシブな議論が開催後までも取り沙汰されたりしたらしく、公会議を政治利用しようとする向きと、なんらかの改革的成果を望む人々などの拮抗関係が、公会議そのものとそれを取り巻く環境をきわめて複雑なものにしていたようだ。これもまた、リアルポリティクスの醍醐味だ。

余談ながら上の『思想』からもう一つ。早川朝子「宗教改革と医学の「近代化」」がまた面白い。身分の低い外科医に解剖をまかせ、ガレノスの権威ある諸説を講じるだけだった中世以降の医学の教師たちに対して、みずから解剖を行いガレノスの誤りをも指摘したベルギー出身の16世紀の医師ヴェサリウスの姿を、宗教的権威に挑むルターに重ねている。ガレノスの説による(誤った)血液循環の話なども取り上げられていて参考になる。

雑記:ちょいと秋休み

先週は一週間ほど事実上のオフ(秋休み?)。個人的な趣味で最近始めた、アンドロイド端末をターゲットとするC#でのお遊びプログラミングに興じていた(苦笑)。いろいろ知らないことが多くて大変だが、それはそれで楽しい。ほかに『猿の惑星:聖戦紀(グレート・ウォー)』などを見たりもした。一連のシーザーをめぐるストーリーの完結編。『地獄の黙示録』へのオマージュもさることながら、オリジナルシリーズへのオマージュなどもあって、個人的にはとても楽しめた。人間たちが、どこかゼウスに追われるクロノスらティタン族に重なったりとか……。

Commento al «Cratilo» di Platone. Testo greco a fronte……なんてことを思ったのは、相変わらず少しずつ呼んでいるプロクロス『クラテュロス註解』が、ちょうどクロノス、ウラノス、ゼウスのあたりの話に及んでいるところだからか(笑)。プラトンの『クラテュロス』を受けて、神々の名前についての論が展開するのだけれど、ここでもまた新プラトン主義的スタンスに即して、プロクロスは発出論的な視点から神話の構造を説き直している。かくしてクロノス、ウラノス、ゼウスは創成に関わる三者として(けれどもどこか一体的に)扱われているようで、クロノスは「劇的なかたちでおのれの父を受け継ぎ、続く世代に引き継いだ」(111節)神と評され、ウラノス、クロノスの去勢の話を断絶として、ゼウスが別種の分割と統治の拡大を図ることになる、というまとめになっている。天上世界と地上世界、知性と理性との断絶が改めて強調されているかのようだ。

クザーヌス:Figure P and U

メルマガで取り上げるクザーヌスの図Pと図U(クリックで拡大できます):

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