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直観主義と論理主義 – 3 :ブラウワーの直観主義

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles de Philosophie Des Mathematiques)ずいぶん間が開いてしまったが、アンソロジー『数学の哲学』からデトレフセン「ブラウワーの直観主義」を眺めてみる。まずブラウワーの場合、推論(inference)の考え方が当時としては斬新だったようだ。それによると命題の真理が論証されるには、それが「経験」の対象になっていなければならないとされ、翻って論証における論理的推論の役割は著しく制限されることになる。いきおい、ブラウワーの数学的直観主義は、意味論というよりも基本的に認識論(エピステモロジー)的なものとなる。直観主義においては、数学の命題を論理的に操作できることが、それらの命題を(派生命題も含めて)知ることにはならないというのが基本(ポアンカレ)で、数学的知識と論理学的知識とが異なるものとして扱われるのだが、ブラウワーの場合には、それがなんらかの「経験」にもとづいていることが区別の鍵となっているらしい。たとえば命題pの知識を類推的に命題qに拡張する場合、推論は形式的なだけではダメで、その推論に命題pを成立させている条件についての知識が保持されていなければならない。それこそが実践的な操作をなすのであって、ゆえに単なる論理的操作とは異なるのだ、とされる。ブラウワーにおいては(古典的な認識論におけるような)推論そのものの正当化の重視以上に、認識の様態の保持が重視されるという次第だ。

直観主義は総じて構成主義的であり、数学的知識というものは基本的に構築・構成という活動(心的活動)の一形態であるとされるわけだけれど、ブラウワーの場合はこのように、論理的推論だけでそれは拡張できず、内容を伴ってそういう活動そのものが拡張されるのではなくてはならないと考える。Aという構築された命題と、Bという構築された命題があったとき、推論的連結だけでは、AかつBという命題は構築されない。そこには形式的推論を越えた何かが必要になる。それが「経験」で示される構築の枠組みの連続性・一貫性ということになるようなのだが、著者のデトレフセンによれば、その後の直観主義はそうした構築過程の形式化(ハイティング)を通じて、形式的推論を大幅に認める立場へと移行したといい、上の「AかつB」の命題構築が導かれる過程についても、「シンタクス」的な連結をもってよしとするようになり、ブラウワー的な議論からは大きく逸れてしまっているようだ。ただこのテキストからは、ブラウワーの言う「経験」の内実という部分がもう一つはっきりしないようにも思われる。そのあたりを求めて、この探索はさらに続くことになりそうだ……。

数と現実

現代思想2018年1月号 特集=現代思想の総展望2018空き時間を利用して、現代思想2018年1月号 特集=現代思想の総展望2018』(青土社、2017)を一通り眺めてみた。ハーマンやガブリエルなどの新しい実在論はそれぞれの著書の一部分のまとめなので、とりたてて新しい感じはしないが、オブジェクト指向存在論を詩作に結びつけた文芸潮流(オブジェクト指向詩)があるという話(ゴルィンコ=ヴォルフソン)などは少し面白い。また、急進左派系の加速主義(スルニチェク&ウィリアムズ)というのにも、ある意味とんがったトピックとして眼を惹くものもある。けれども、いずれにせよどこか脱人間的なコンテキストを強く匂わせていて、なにやら一種の逃避感(?)のようなものが浮かび上がってくるのは気のせいだろうか、と思ったりもする。

個人的にとくに面白かったのは、数学に絡んだ二つの論考。一つは中沢新一「レンマ的算術の基礎」。映画『メッセージ』の原作『あなたの人生の物語』をもとに、全体思考を一挙に行うという非線形的・非因果律的を人間から「取り出す」ことは可能かと問い(それを著者はレンマ的知性と称している)、また厳密な学は算術で基礎付けられなくてはならないとして、レンマ的算術なるものを考察している。けれども(やはりというべきか)ここからは仏教思想に範を取った話になっていき、直観的認識でしか捉えられないようなもの、虚数であったり、実無限であったりするものが引き合いに出されて、通常の論理的思考とは別様の数学が示唆される。その数学的構造というのは、超実数(hyperreal number)の構造にほかならない……と。数というのは「生成される一つ一つがすぐ前のものから定義されていくという、正の整数の無限列の逐次的な創造」とされるものの、通常はいったん生成した数が前の数との関係を失ってしまう。それに対して「縁起的思考による数論」では、生成された数は他の数とのつながり(縁(!)によるつながりとされる)を絶たないとされる。そうした数の計算(行列としての計算となる)、とくに積の問題から、交換法則が成り立たない空間が導かれるとされる。仏教思想との絡みはともかく、数論的な部分自体はとても興味を惹く。個人的にももう少しちゃんと押さえておきたいところだ。

一方、ルーベン・ハーシュ「書評 アラン・バディウ『数と数たち』」は、バディウが超現実数(こちらはsuperreal number)(こちらにその導入的な記述があってわかりやすい)からインスパイアされ、それを形而上学的な水準にまで、つまりは存在論の基礎にまで上昇させた点を問題として取り上げている。もともと構成的・ボトムアップ的に実数などを得るための操作的概念だった超現実数は、バディウにおいては多様性(それが存在の実例だという)をもたらす大元の基盤と見なされ、超現実数と順序数によって多様性が記述しつくされるという主張にまでいたるというのだ。著者ハーシュはこれに、順序数の構成を強制するものがないこと、さらに数体系はいかなるものであれ、存在やリアリティをモデル化したり記述したりするには不十分だということを反論としてあげている。リアリティ(現実)を整列集合に一次元的に還元することは単純化しすぎだというわけで、著者は現実の状況というのは多次元的、さらには無次元的でさえあると指摘している。上で述べた、個人的に感じるどこかしら逃避感のようなものとは、もしかするとそうした一種過剰な還元と、それによってかえって現実から位相的な遠ざってしまうことについて覚えるものなのかもしれない。

数学とその外部

数学はなぜ哲学の問題になるのかイアン・ハッキング『数学はなぜ哲学の問題になるのか』(金子洋之、大西琢朗訳、森北出版、2017)を読み始めている。とりあえずざっと半分ほど。総じてハッキングの多弁かつ独特(ときにシニカル、ときに饒舌)な語り口がいかんなく発揮され、研究史的なエピソードが数多く散りばめられて面白くはあるのだけれど、全体の見通しはあまりすっきりとはしていない印象。さながら植物が成長し枝分かれしていくかのように、問題も枝分かれし茂っていって、見渡せないほどの全体像を形作るかのよう。まず第一章では、数学を永続化させているものは何かという問題に、作業仮説として「証明」と「応用」とが与えられる。すると今度はその「証明」に、デカルト的な証明(証明全体を明晰な確信をもって見て取るという種類のもの)とライプニッツ的な証明(ステップ別に配列された命題を一行ずつ機械的にチェックしていく種類のもの)という区分が導入される。どちらも数学史的にはそれなりの系譜を形作っているとされ(直観的なもの、形式的なものとして)、それぞれについて様々な変奏が史的に奏でられていく。すでにして錯綜感の予兆。第二章では、何が数学を数学たらしめているのかについての、歴代の思想からの解答が列挙されていくが、そもそも算術と幾何が一緒くたに数学の構成要素として取り上げられている点など、不分明なトートロジーのような議論が根底にあることが浮かび上がってくる。第三章で扱われる、数学の哲学がなぜあるのかという問題も、様々な立場が絡み合い、全体としてきわめて偶発的なものでしかないような、奇妙な風景を立ちのぼらせる。ハッキング自身は、この問題は「認知史」からアプローチするしかないと考えているようだ。総じてこのように、数学史、数学の思想史を限定的な学問史からではなく、より広範なインテレクチャル・ヒストリーから見直すべきだというのが、同書の基本的スタンスなのかもしれない。

そのことは第四章にも見て取れる。証明と題されたその章では、すでに同書のそれまでのページで偶有的な産物でしかないとされた証明についての、古代ギリシアからの「精神史」(とハッキングは呼ぶ)が開示される。たとえばタレスが工学に長けていたことをエピソードとして取り上げ、純粋に知的な数学史のみならず、古代工学史などをも参照すべきことを示唆したりする。プラトンはピュタゴラス主義に立脚し、世界の深層的本性を知るための(応用のためではない)数学として理論的な面を重視したとされるが、その背景には、アテネの民主制が議論をベースとし、そうした議論自体には決め手がなく、ただ雄弁術や欲望のみが決着をもたらしていたこと、またそうした事態を目の当たりにしたプラトンの、なんらかの危機感があったのだろう、といった話が取り上げられる。ギリシアが征服を免れていた理由としての海軍力、戦闘機械などと併せ、図が不可欠とされた古代数学の在り方や、そうした図を多用する特殊な形式論的な証明概念などを、再び問い直すべしと、同書は示唆し続ける。

次元を落とすという手法

現代数学への招待:多様体とは何か (ちくま学芸文庫)まったくの門外漢だが、思うところあって、志賀浩二『現代数学への招待:多様体とは何か (ちくま学芸文庫)』(筑摩書房、2013)に眼を通してみた。ごく基本的な部分の知識しかないので、わずかな部分しか理解できないのだが、こういうときには一種の「キーワード主義」という感じで、まずは中心概念を大まかに把握していくことが中心となる。そこからうっすらと立ちのぼってくるなんらかの風景を、まずはそれだけで味わってみるということになるわけだ。もちろんキーワード主義には弊害もあって、取りこぼす部分も多々あるのだけれど、最初のとっかかりとしては悪くない。で、そこからすると、同書は位相空間(位相多様体)がどのような諸特徴をもつのかについて、それを写像ないし微分によって次元を落とすなどの操作を通じて理解しようという試み、と括ることができる。その過程で様々な概念が数学的に定義し直され、それがちょっとした醍醐味になっている感じだ。

たとえば「近さ」。著者は通常の感覚でも、距離よりも「近さ」のほうが先立っているのではないかと言う(この日常的な感覚や、ありふれた事例がときおり差し挟まれるのが、とても興味深い)。数学的に表現される「近さ」は、任意の部分集合が、開集合を含む別の任意の部分集合に含まれるときに、最初の部分集合はその別の部分集合に対して近いと定義されるらしい。もう一つの重要なキーワードが「滑らかさ」。これもまた、多様体に当てはめられるときの数学的な定義が示され、微分可能な局所座標が与えられうるときに、その多様体は滑らかだとされる。いずれももはや抽象的な概念なので、なんらかの図や像として思い浮かべることはできない。けれども、抽象的な数学の世界ではそれは当たり前。そもそも球面の定義(たとえばx1^2 + x2^2 + x3^3 = r^2)にしてからが、第四のx4^2が加わっただけで(つまり四次元として表すだけで)図示はできなくなるけれども、そうした定義がありうること自体は字面から推測される。ここから、ある種の形式的な思弁の世界が拡がっていく。なんと7次元の曲面上には、次元を1つ上げると「滑らかな曲面」として見えてくるような異なる微分構造があるのだといい、すでに28個もの異なる微分構造があることが発見されているのだという。そうした未知の風景(当然ながら、もはや視覚によらない抽象的思弁の現れだが)は、まだまだ数多く見いだされるのだろうとされる。

上の個人的なキーワード主義的なアプローチも、こうしてみると同書が位相空間に対して行っている操作と、本質的なところでは案外違わないのでは、という気もしてくる(ホントか?)。このアプローチ、もちろん内容の精査にはほど遠いので、数式の厳密な理解など、対応できない部分はきわめて多岐にわたるのだが、少なくともある種「次元を落とす」手法として、上の内容に重なりうるのではないか、などと考えてみたりする。さしあたり、今のところはそれでよしということにしておこう(笑)。

直観主義と論理主義 – 2

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)アンソロジー『数学の哲学ーー存在論、真理、基礎』(Philosophie des mathématiques: Ontologie, vérité, fondements (Textes clès de philosophie des mathématiques))の第三部は、論理主義と直観主義それぞれの陣営から、リチャード・ヘックJr「フレーゲの定理への導入」と、ミカエル・デトレフセン「ブラウワーの直観主義」の仏訳を採録している。でもまずはそれらの前に置かれた、編者らによる解説から見ていく。これは両テキストの位置付けを解説したもの。まずヘックの論考は、フレーゲの論理主義そのものというよりも、その後の「新論理主義」からフレーゲを見直したものと位置付けられるのだという。論理主義の肝は、入れ子状の量化を扱える論理学の構築と、ペアノの公理(とくにその数学的帰納法の原理)の論理性の担保にあるとされるのだけれど、フレーゲは前者を満たすことには成功したものの、後者は満たしていないとされる。それぞれの概念に外延がある、というフレーゲの仮定には矛盾があるとするラッセルのパラドクスがその点を突いている、というわけだ。で、「新論理主義」は、フレーゲが準拠するヒュームの原理(一対一対応)が論証されれば、フレーゲが持ち出す「外延」(extensioin)は不要になるとの考え方から、たとえばクリスピン・ライトは60年代に、フレーゲの二階論理ヒュームの原理から、外延や集合を参照せずに算術を導けることを論証しようとした。ここが起点となって、新論理主義は多方向に分岐していくのだという。

解説によると、上のヘックの論考は、そのライトの議論がどのような点でフレーゲから逸脱しているのかを示しているといい、また論理学的定義が数の解釈だけでなく、数の本質の説明をもなそうとしている点をも強調していると指摘する。算術がフレーゲの体系の中で解釈できるだけでなく、算術が論理学そのものにほかならないことを示そうとしている、ということのようだ。

他方、直観主義の流れはこうだ。まず発端として、20世紀初頭にツェルメロが、任意の関数について、空でないあらゆる部分集合はより小さな要素を許容するという構造があるということ(選択公理)を主張した。ここから、構築手段なしに成立する実体がありうるとの主張が出てくる。集合や関数、数といった、数学者の活動に自然に相関するものは、その相関する活動から分離させて、あたかも独立して存在するこかのように考察することができる、というわけだ。実在論、あるいはプラトン主義的とでもいうべき考え方だが、一方ではこうした立場を拒む人々も出てくる。数学的実体はすべて構築されるべきものだと説く、アンリ・ルベーグ(プレ直観主義者とされる)などだ。ポアンカレも、論争に加わりはしなかったものの、同じように考えていたという。オランダの数学者ブラウワーも同じく、論理主義や集合論を否定する立場を取った。ブラウワーは、数学的知識はすべて、非言語的な性質をもった心的な構築物であり、最終的にその基礎は時間に関する直観にもとづいていると主張した。言語は他者が立証できるようにするための指示でしかなく、数学的営為はすべて一人称での経験にほかならない、と。

上のデトレフセンの考察は、このブラウワーの考え方をより緻密に説き明かすものだとされる。ブラウワーの直観主義が、その継承者たちが作り上げた直観主義的論理とどう一線を画しているのかがその中心的論点となるようだ。というわけで、いよいよヘックとデトレフセンの論考をそれぞれ眺めていくことにする。(続く)