「数の学」カテゴリーアーカイブ

直観主義と論理主義 – 1

現代思想 2017年12月臨時増刊号 総特集◎分析哲学ヴラン社刊『数学の哲学』でも第三部で取り上げているのが、直観主義と形式主義の問題。そちらを読み進める前に、ちょうど読み始めた現代思想 2017年12月臨時増刊号 総特集◎分析哲学』(青土社、2017)に、伊藤邦武「ラッセルとポアンカレ」という論考が掲載されていたので、まずはそちらからポイントとなる部分をメモ的に抜き出しておく。『数学の諸原理』刊行前に、ラッセルがポアンカレと論争を繰り広げていたという話なのだけれど、一般に論理主義vs直観主義とまとめられるその論争について同論考は紹介するとともに、改めて検証の必要を説いている。ポアンカレの立場は、絶対的真理と懐疑論の両極を否定して、その中間形としての「仮説」に、多重的な区別と役割を認めるというもの。ポアンカレは「仮説」に大きく三つの区分(つまり(1)検証可能なもの、(2)思惟を固定させるのに有益な道具となるもの、(3)実際には偽装された定義や規約に帰着するもの)を認める。このうち(2)は算術に、(3)は幾何学において重要だとされ、(1)が有用とされるのは、物理学(力学は除く)においてだという。

ラッセルは書評において、この(2)が、カント的な人間精神にアプリオリに存在する推論能力(数学的帰納法)を意味しているとし、その上で、精神の能力という概念が曖昧で、しかもたとえば無限を扱う場合にはそれでは不十分だと批判する。だからこそ、数学的真理には集合論を基礎とする論理学への還元が必要なのだ、というわけだ。これに対してポアンカレは、数学的推理から論理的要素を分離しようとする試み全般を批判する。まずもって数学的推論の論理学への還元はパラドクスをもたらすという難点がある。ポアンカレはそれが集合の分類における「可述性(prédicabilité)」の条件の曖昧さに由来すると考えた。しかしながら論文著者によると、ラッセルもそれを「悪循環原理」として認め、そこからタイプ理論を構築したといい、両者の立場の違いは直観主義vs論理主義を越えて、「可述主義」へと収斂していると見なすこともできるのではないかという。

両者はまた、幾何学と感覚的経験との関係についても対立しているという。非ユークリッド的な体系が見いだされて以来、人間の知覚経験をもととする空間の経験主義的な基礎付けは難しい問題になったというが、ラッセルはそうした基礎付けが可能だとの立場を取り、対するポアンカレは、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学とが形式的体系としては互いに等価で、知覚経験にもとづく検証や反証、優劣の判定は不可能だとの立場を取っていた。ポアンカレは、知覚的経験が把握するのは個別的対象にほかならないと考え、ラッセルのほうは、知覚的経験が把握するのは対象同士の関係そのものだと考える。なるほどこれは大きな認識論的違いだ。両者の間にはほかにも実無限をめぐる対立、さらには確率・蓋然性をめぐる対立もあったといい(ラッセルは、ポアンカレは確率に主観的解釈を施しすぎるとし、論理的分析としての客観的解釈を提唱していた)、論考ではそれらについても取り上げられている。

数学的対象の存在論 – 3

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)ヴラン社刊のアンソロジー『数学の哲学』(Philosophie des mathématiques: Ontologie, Vérité, Fondements (Textes clès de Philosophie des mathématiques))から。ヒラリー・パットナムの二篇の論考(「数学的真理とは何か」「論理哲学」)は、パットナム自身の基本的立場を明確に示したものと考えられる。それはつまり、数学には固有の対象物というものはなく、どのような定理を掲げることもありうるが、その実在を主張することはできない、数学者が主張しうるのは、あるものは「可能」、あるものは「不可能」ということだけだ、というもの。可能性の概念こそが基本的なものをなし、たとえば集合論の存在概念などは派生物と見なすことができるという立場だ。数の理論はすべて、可能性の言説として表される(「数学的真理とは何か」。この意味において、数学に限定するならば、パットナムは唯名論的な立場を取っているように見える。一方で、これが物理学などの具体的な対象をもった諸学に適用されるというような場合、数学と物理学は相互に密接に入り組んでおり、数学的には厳密に唯名論的でも、物理学的には直観的に実在論が幅を利かす(そもそも外部世界あってこその物理学ではある)。その意味で、物理学を支える実在論に引っ張られるかたちで、数学が実在論の側へと傾斜しているという感じになる。物理的な大きさを数値化するのであれば、関数や実数といった概念をも受け容れなくてはならない、と。ミニマリストな実在論という点で、それはクワインなどとも響き合う……のかな(?)。

続くハートリー・フィールドについては、以前「唯名論」としてメルマガで取り上げたことがあるのでとりあえず割愛。その次に採録されているマーク・ステイナーの論もなかなか面白い。そこでは、物理的世界への数学の応用が、アナロジーにもとづいてなされることが論じられる。現代の物理学的な発見において、数学的アナロジーは不可欠な要素をなしているのではないか、というのだ。数学的アナロジーは、ときに物理的なベースを有することもあるというが(上のパットナムに通じるスタンスだ)、そのようなベースをもたない形式的なアナロジーもありうる、とステイナーは考える。そしてこの無基底な形式的アナロジーこそが、現代の物理学の発見の重要な要因をなしている、と主張する。ここで数学は純粋に唯名論的なものとされ、それがある意味偶有的に用いられることで、物理世界の発見が開かれるという仮説だ。ディラックの量子力学のほか、シュレディンガー、マックスウエルなどの理論が具体的な事例として挙げられ検討されているが、数学の抽象化された(唯名論的)対象が、物理世界に適用されるときの偶有性(なにしろ無基底なのだから)に焦点を当てているところがとても興味深い。ステイナーの議論では、上のパットナムとは逆に、数学の唯名論が物理学を引っ張って傾斜させている、というふうにも読める。その意味では拮抗する立場と言えるかもしれないが、いずれにしてもこれら唯名論と実在論の揺れ動きはそれ自体、微細な議論の空間を開いているようで興味は尽きない。

数学的対象の存在論 – 2

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)ガンドン&スマジャ編のアンソロジー『数学の哲学』(ヴラン社、2013)から、ポール・ベナセラフの「数学的真理」(抄仏訳)を見てみた。これもまた大変興味深い一篇。「ニューヨークよりも古い都市が少なくとも三つある」という命題1と、「17よりも大きな完全数が少なくとも三つある」(この場合の完全数は、自身を除く約数の和が自身と一致する数、ということだろう)という命題2は、文法的・論理的には同形(「aに対してRの関係にあるFGが少なくとも3つある」命題3)なのだが、命題1と2はどういう条件のもとに真理値を取るかという点で異なっているか、とベナセラフは考える。とりわけこの命題2は、通常の経験論的な意味論として命題1を解釈するようには解釈できない。経験論的に導き出すことができない以上、その命題を導きうるような、すでに知られたなんらかの定理が必要とされるからだ。そうしたなんらかの定理をpとするならば、pには、真理の定義にもとづいて真であるという「条件」がなければならないし、また、pが知られていると言いうる「根拠」が与えられなくてはならず、その「条件」と「根拠」が結びついていなければならない。しかしながらpそれ自体と、原理にもとづくpへの信頼との間の関係は、確立されなくてはならないにもかかわらず、そのままでは確立されえない……。こうして命題2が真である根拠はすでにして宙に浮いてしまう。標準的な(意味論的な)理解と数学的真理の理解とを結びつけようとしたところで、数学的知識がいかに得られるのかがかえって見えにくくなってしまう。第二部冒頭の編者解説によれば、通常の言語活動と数学的言語活動の乖離というこの立場は、さらにヒラリー・パトナムにも共有されて、折衷案的な「実在論」(純粋に唯名論的ではないという意味での)の流れを形作っていくらしい。というわけで、同アンソロジーはこの後にパトナムの議論が続く。

数学的対象の存在論 – 1

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)大幅に間が空いてしまったが、ヴラン社刊行のアンソロジー本『数学の哲学ーー存在論・真理・基礎』(Philosophie des mathématiques: ontologie, vérité et fondements (textes clès de Philosophie des mathématiques), éd. S. Gandon et I. Smadja, Vrin, 2013)から、冒頭のポール・ベナセラフの少し変わった論考を読む……ということでアウトライン的なメモを。最初に二人の子供が、算術そのものではなく集合概念から入るかたちで数学の基礎を学んだと仮定する。次に今度は、彼らが一通りの演算などを学んだあとで、数そのものを問う問題(「17に3が含まれるかどうか」)を突きつけてみると、両者の見解が分かれたと仮定する。これ自体は虚構というか思考実験なのだけれど、両者の見解(一方は、3というのは17が表す集合の部分集合をなすので、17に含まれると言い、もう一方は、数というのは一つの要素から成る集合であって、隣接するもの以外には含有の概念はありえず、ゆえに3は17には含まれないとする)は、確かにどちらもありゆるような感じではある。どちらもそれまでの前提(集合論)から派生しているからだが、厄介なのは、そのままではどちらが正しいとか決定づけることができないこと。というか、決定づける基準がない。両立はそもそもありえない……。ここでベナセラフは、数を個別要素から成る集合とする考え方を斥けなくてはならないのでは、とアプローチする。

XとYがイコールであるという場合、XとYは同じタイプとして同一のカテゴリーに属するとされる。個別化している事物が同一と見なされるのはそのような場合のみだ。では、数はそのような事物であると考えてよいのだろうか。これにイエスと答えるのがフレーゲ的な立場(「数とは対象である」)だとベナセラフは言う。そしてそれを批判していく。同一性という概念は、繰り返しになるが、それが適用される事物同士が同一カテゴリーに帰属することを前提とする。カテゴリーへの帰属は、理論によって支えられなくてはならない。しかしながらそうした「事物」(あるいは対象、実体でもよい)は、いわば穴埋めの仮概念にすぎず、厳密さを欠いている。もちろん同一性の議論は、狭い定義の範囲でなら論理学的な関係性として、あらゆる学問に適用可能なものではある。ただしその場合、対象、あるいは個物として挙げられるものを決定づけるのは、その当の学問、当の理論にほかならない。ここがミソだ。

数についてはどうか。数が集合と同じカテゴリーに入るということ自体が未決定である限り、上の「17に3は含まれるか」という問いの答えは、意味をなさないか誤りかのいずれかでしかなくなる。数についてのある体系が適合的であることが分かったからといって、数そのものが何であるかということが分かるわけではない。数学者の関心はそうした体系・構造の段階でとどまってしまい、個々の数には向かわない。かくして数は対象には据えられない(フレーゲ的立場に反して)。個別の数を特定の(あれではなくこれというふうに)個別の事物に対応させる理由はどこにもない、とベナセラフは考える。数の属性をいくら言いつのったところで、それは単に抽象的な構造を特徴づけるだけなのだ、と。なるほどこれは面白い論点だ。このような周到に回り込んで結論にもっていく方途そのものに、数学の哲学がもつ面妖さが窺えるという点でも、興味深いかもしれない(笑)。さしあたり、もう一つ採録されているベナセラフの議論も見てから改めて全体を考えることにしよう。

数学的対象の存在論 – 0

現存する最古の「ゼロ記号」の用例が見られるとされるバクシャリ写本(Bakhshali manuscript)は、1881年にパキスタンで発見された文献。当然ながら数学史的に重要なものとされ、従来は8世紀から12世紀ごろにかけて成立したとされてきたようだが、炭素年代測定法の結果、実は3世紀から4世紀のものだったことが判明したと先週、オックスフォード大学ボドリアン図書館が発表したそうだ(こちらの記事を参照)。バクシャリ写本というのは、算術の問題と解答が記されている文献で、そこでのゼロ記号(ドット記号)は、桁を表す記号と自立した数字との両義的な記号として扱われているようだ。ドット記号がそれ自体一つの数字として確立されるにはもう少し時間がかかったようなのだけれど(ゼロ概念について論じた最古の論考は628年の『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』(Brahmasphutasiddhanta))、それにしてもこの記号的両義性はなかなか悩ましいもののようにも思える。

Philosophie Des Mathematiques: Ontologie, Verite, Fondements (Textes Cles De Philosophie Des Mathematiques)これがやたらと気になったのは、数学的対象の存在論についてのアンソロジーを読み始めているところだったからか。仏ヴラン社の「テクスト・クレ」シリーズから出た『数学の哲学−−存在論・真理・基礎』(Philosophie des mathématiques: ontologie, vérité, et fondements (Textes clès de philosophie des mathématiques), éds. S. Ganidon et I. Smadia, Librairie philosophique J. Vrin, 2013)というもの。サブタイトルのテーマで三部構成とし、それぞれ2〜3本の重要な論文ないし文献の抄録をまとめたもの。さらにテーマごとに解説も付いている。というわけで、同書も精読していきたいところ。まず第一部はポール・ベナセラフという米国の哲学者の二つの論考の抄録。「数は何でありえないか」(65年)と『数学の真理』(部分:73年)。冒頭の解説によれば、ベナセラフの論考は数学の哲学においては重要で、後の世代に与えた影響が大きいという。たとえば都市というものが都市名で参照される対象であるように、整数(entiers)もまた参照の対象であると考えるべきだとしつつ、一方で、それは通常の対象物と必ずしも同じ意味での対象なのではないとも述べているという。実在論的ながら、奇妙な捻れを含んだ存在論というところか。この捻れは、後に大きな分裂をもたらすことにもなるらしい。さしあたり本人の論考においては、後者の考え方に重きを置くのが65年の論考、むしろ前者の側面を強調するのが73年の論考なのだとか。これはある意味、意味論と認識論との間の逆説でもある。数学記号を意味として一義的なものと捉えることは計算の基本になるけれども、認識論的に考えるなら、理論的な組み合わせによって必ずしも同一記号が同じ内容を表すとは限らない、といった事態が生じる。これが捻れの正体でもあるわけだけれど、ベナセラフ本人はこの捻れ・齟齬については問題を開いただけでよしとしているという……。そういった概要を踏まえつつ、実際のテキストに当たってみることにする。