「数の学」カテゴリーアーカイブ

概念の内実へ

数学的経験の哲学 エピステモロジーの冒険近藤和敬『数学的経験の哲学 エピステモロジーの冒険』(青土社、2013)を読み始める。まだ第一部だけだけど、すでにしてとても重厚で濃い感じの議論が展開している。数学を事例として、概念というものの内実へとアプローチをかけていくという試み。ポイントなるのは、まず一つには概念においてすらその措定には「歴史的経緯」というものが伴われているという観点、もう一つには、概念が「構成的」な動きに関わるという観点。概念を措定する以前から、その概念がやがて指し示すことになる内容、すなわち直観的な行為や作用、経験などは存在しているものの、ひとたび概念が措定されれば、そうしたもとの内容を呼び出す必要はなくなり、その概念を用いさえすれば内容に関わる操作が可能になる。一方でその概念措定に際しての論証のプロセスは新たな表象を産出するプロセスを呼び起こすことにもなる。こうして連綿とした概念措定の史的繋がりが浮上する(同書ではたとえばライプニッツから現代にいたる関数概念の変遷などが言及されていたりする)。けれども「概念設定は、謂わば光学装置のようなものであり、そのスペクトルの設定を変更することで、たちあらわれる世界が変わってくる」(p.83)という。こうして、ひとたび措定された概念は、それ自体がまた経験の対象となり、「経験も概念もともに独特の変容を被る」(p.87)。その意味で、概念の内包的定義というものは非網羅的であらざるをえず、存在の同一性という(一般的な)存在論の基盤を揺るがすものでもある、と……。

数学の世界が、概念とともに新たな世界観をもたらすという歴史に彩られているとすれば、それを支えているのは概念をも巻き込む経験にほかならない。そこで言う経験とは、規則に支配された振る舞いのことだと規定される。「規則にしたがうことは、規則の意味や根拠を知ることなく可能であり」、数学世界での規則への追従は、「自発的な振る舞いが、命令にしたがっているという事実を、その結果として生み出すもの」(p.117)だという。つまり、それはまさに構成的なものなのだ。その振る舞いはやがて概念に縮約されていく。そのプロセスを、同書は擬・概念(未完成の概念)から概念への落とし込みという形で描き出そうとしている(素数についてのリーマン予想などが引き合いに出されている)。そこから、概念(ないし擬・概念)の機能というのはつまるところ、「知るための方法をもたない規則(一般性)を、その結合によって問題として言明することができるということにあるのではないか」(p.131)と同書は言う。ここでの「問題」は、なんともドゥルーズ的な「問題」だ。概念はほかの概念との結合を通じて、「ふたたび未規定な状態にもどる」(同)。その開かれた問題がさらなる概念を巻き込んでいく。

ごく限られた希有の才能による概念結合の火花が、より多くの媒介的知性による検証を経て定着していき、それをまた概念として新たな概念結合が導かれていく、というのが学問的発展のプロセスなのだとするなら、そのプロセスの端緒というか、第一のレベルへと肉迫していこうとする同書自体もまた、そうした概念結合の実践の場をなしている、と言えるのかもしれない。少なくともこの第一部に関しては、現代思想的なリファレンスをさほど多用することなく説き起こしているところに、個人的にはとても共感する(第二部以降は少し趣向が異なってくるようなのだけれど……)。

年越し数学史

非ヨーロッパ起源の数学―もう一つの数学史 (ブルーバックス (B-1120))みたび年越し本。まだ読みかけなのだけれど、ジョージ・G・ジョーゼフ『非ヨーロッパ起源の数学―もう一つの数学史 (ブルーバックス (B-1120))』(垣田髙夫、大町比佐栄訳、講談社)がとても面白い。タイトル通り、エジプト、バビロニア、古代中国、古代インド、アラビアなど非ヨーロッパ圏の数学の発展を、文献に残る具体的な数学問題を紹介しながら追っていくというもの。興味深いのは、そうした数学問題について、その文献に残る解法を近代的な解法と対照させているところ。たとえば、「ある数に1/4を加えると15になる。そのある数を求めよ」という問題は、現代の代数なら一次方程式でx + 1/4x = 15を解けばよいだけなのだけれど(答えは12)、エジプトの代数はこれを次のように解くという。ある数を仮に4だとすると、15となるべきところが5となる。5は3倍すれば15になる。よって仮定した4に3をかければ正しい答えになる……。これは記号式代数以前には一般的だった一次方程式の解き方だといい、ヨーロッパでもかつては用いられていたものなのだとか(p.115)。こういう「発見」がいろいろ詰まっていて飽きない。原著は1990年刊で、訳書も1996年刊。残念ながら出版社側の在庫切れらしいのだけれど(古書で入手可能)、ぜひ復刊してほしいところ。

数学の歴史 (放送大学教材)同じように例題などを交えながら、古代から近世までのヨーロッパの数学史ならびに和算をカバーしているものに、三浦伸夫『数学の歴史 (放送大学教材)』(NHK出版、2013)がある。こちらも通史的に全体を俯瞰できるところがとても有用だ。たとえばカルダーノ(16世紀)による三次方程式の解法。x^3 + 6x = 20を例にその解法が示されている。まずは6の三分の一である2を立方して8。定数部分(20)の半分を二乗すると100。これと8を足して108。平方すれば√108、これを2度作り、定数の半分である10を一方に加え、もう一方から引く。√108 + 10(二項和)と√108 – 10(二項差)。これらの立方根を取り、二項和の立方から二項差の立方を引く、と。

職人たちの幾何学知識(13世紀ごろ)

エリザベス・ジェイン・グレン「中世数学の伝達とゴシック建築の起源」(Elizabeth Jane Glen, The Transmission of Medieval Mathematics and the Origins of Gothic Architecture, Senior Honors Thesis, Sweet Briar College, 2005)という論考をざっと見。(1)イスラム圏の数学の発展、(2)イスファハンの金曜モスク、(3)アラビア数学流入前の西欧の職人的伝統、(4)シャルトルの大聖堂、(5)数学技法の伝達などを取り上げた論文。個人的には、とりわけ(1)と(3)が注目される。(1)では、フワーリズミー(9世紀)による代数学の確立(『約分と消約の書』)とヒンドゥーの数字表記の採用に触れたあと、10世紀の天文学者アブー・アル・ワファによる三角法への代数の応用が取り上げられている。『書記や商人にとって代数学の何が必要かに関する書』『職人にとって幾何学的建設の何が必要かに関する書』などがあるといい、それらの書は職人たちや金曜モスクの建設に影響を与えているらしい。さらに11世紀のセルジューク朝のウマル・ハイヤームの応用数学が言及されている。この人物も金曜モスクの建造に数学的検証関与しているのではないかとされる。

(3)では、そうしたアラブ経由での代数学などが伝わっていない時代の、西欧の建築職人らが受け継いでいた幾何学的伝統が取り上げられている(この話、少し前のメルマガNo.243の自由学芸についての連載でも触れたっけ)。ゲルベルトゥスによる理論幾何学の確立と並走する形で、ローマ時代の測量士以来の実践的幾何学が石工たちの間で受け継がれていたという話で、知識は基本的に師への見習い奉公を通じ、他の建物の検分や実地での試行錯誤の繰り返しで取得されるものだった。ロマネスクからゴシックへの様式の変化も、建物の大型化に伴う対応策の、試行錯誤の産物だったとされている。さらに具体的史料として、13世紀のヴィラール・ド・オヌクールによる画帖が紹介されていて、コンパスや直角定規を用いた測量についての記述が興味をそそる(当時は角度を度数ではなく直角三角形の辺の比で表していたとか、「アルキメデスの螺旋」がアーチの作成に使われていた(?)とか、面白い話が続いて、まさに読みどころ)。オヌクールの画帖はフランス国立図書館(BnF)のサイトで画像公開されている(http://classes.bnf.fr/villard/feuillet/index.htm)ほか、Wikisourceのページでも見ることができる(http://fr.wikisource.org/wiki/Carnet_(Villard_de_Honnecourt))。また、邦語で読めるオヌクールの画帖についての論文として、藤本康雄「ヴィラール・ド・オヌクールの画帖図柄の格子上分類配列」(大阪芸術大学紀要『藝術19』、1996)がPDFで公開されている。

オヌクールの自画像かもしれないとされる画(画帖より)
オヌクールの自画像かもしれないとされる画(画帖より)

神学から数学へ(14世紀)

ついこの間入手したばかりの本だけれど、ジョエル・ビアール&ジャン・スレレット編『神学から数学へーー14世紀の無限論』(De la théologie aux mathématiques – L’infini au XIVe siècle, dir. Joël Biard et Jean Celeyrette, Les Belles Lettres, 2005)は内容的になかなか豪勢な一冊。14世紀の論者たち(ドゥンス・スコトゥス、ヴォデハム、ブラッドワーディン、オートレクール、リミニのグレゴリウス、オレーム、ビュリダン、ジャン・ド・リパ)が無限について論じた文献の仏訳アンソロジー。それぞれの抄録には研究者による解説もついていて、全体の布置を見通す上でとても有益に思える。まだとりあえずジョエル・ビアールによる序文をざっと見ただけなのだけれど、これまた全体的な流れを整理した、とても参考になる考察。というわけでちょっとメモしておこう。

アリストテレスは、実体はすべて有限なものとしてあり、無限は可能性としてしか存在しないとしていたわけだけれど、この「否定的・欠如的」な無限概念は13世紀の神学者たちにも受け継がれていく。彼らはとくに1240年代から、至福直観(無限の存在を有限の知性が捉えることが前提とされる)の文脈で「無限」についての議論を盛んに行うようになる。否定的・欠如的な無限概念を肯定的な属性として捉えるようになるのは、ゲントのヘンリクスが嚆矢だといい、続くドゥンス・スコトゥスが精緻化し、かくして「現実態としての(in actu)無限」が神の属性として認められるようになる。量的な観点からではなく、有(存在者)の観点から見た様態としての無限。広大さの無限と権能としての無限。両者の関係性の議論は、たとえばはるか後のジョルダーノ・ブルーノあたりまで綿々と連なっていく。

前にちらっと触れたけれど、14世紀の議論では「無限」の意味を共義的に(syncategorematic)に取るか、自立的に(categorematic)に取るかという区別が立てられていた。この区別は実はプリスキアヌスの文法学にまで遡るのだそうだが、無限の概念にこれを当てはめた事例としてシャーウッドのウィリアム(13世紀)が挙げられている。「実体は無限である」という場合に、それをそのままの意味に取るなら自立的意味だし、それが述語との関係で意味が変わるとするなら(実体の数が無限・実体そのものが無限etc)共義的意味、というわけだが、この共義的意味での無限概念の解釈は、ソフィスマタの議論(ビュリダンなど)と絡んで論理学的な問題になり、こうして数学的アプローチを呼び込むことになる(リミニのグレゴリウスなど)。ここでの主戦場はオックスフォード。当時問題とされたうち代表的なものは、無限同士の比較は可能か、無限に何かを付加したらそれはより大きな無限になるのか、といったもの。無限を実体的に捉える立場からすると(ハークレイのヘンリーなど)、無限同士が不均等でありうるという議論が出てくる。これは「全体は部分よりも大きい」という、それまで自明視されていたテーゼが必ずしも真ではないという話を導く(ニコル・オレームなど)。さらに、世界は起点はあってもその先は無限であるという、とくに13世紀にフランシスコ会派が擁護し一般化した神学的テーゼも、連続体の構成の問題という形で再考される。前にチラ見したように、連続体が不可分の粒子のようなものから成るという論(ハークレイ、チャットンなど)と、それに対する反論(ヴォデハム、ブラッドワーディンなど)とが入り乱れ、さらに主戦場もパリへと拡大し、いよいよ乱戦模様がいっそう色濃くなっていく……のかな?うーむ、このあたりの錯綜具合いは少し丹念に追ってみたいところ。メルマガのほうでやることにしようかしら……。

ブラシウスvs不可分論

三たび『中世後期の哲学・神学における原子論』より。論集の末尾を飾るのは、ジョエル・ビアールによる「原子論的推論に対峙するパルマのブラシウス」という論考。パルマのブラシウスは、基本的には不可分論者ではないようで、連続体は無限に分割可能だという立場を取る。たとえばこんな議論。線を等分に分割するという場合、不可分論(原子論)では厳密な等分が保証されない、なぜかというと、その場合、線は偶数の原子から成るのでなければならないが、それが偶数か奇数かなど、そもそも決定できないではないか……。これはあくまで数学的な話であるわけだけれど、一方で連続体が部分から構成されるという議論になると、議論の進め方に両論併記的なところがあってどこか曖昧さが残るという。また、話が自然学のほうにいたると、ミニマ・ナトゥラリアをめぐる議論など(質料は無限に分割できるにしても、形相が付与もしくは保持される上での上限・下限は必要になってくるという考え方)、不可分論的なトーンが出てこざるを得ない。このあたりは、14世紀のほかの論者たち(前にも挙げたけれど、ヴォデハムやビュリダンなど)とも共通する部分ではあるわけだけれど、ちょっと興味深いのは、線を構成する点とは別に、連続体に位置をもたない不可分なものの例として知的霊魂が挙げられていること。でもブラシウスは、自然学的観点から魂も無限に分割可能だとのスタンスなのだともいう(ヴェスコヴィーニの解釈)。このあたりもちょっと錯綜ぎみな感じで興味深いところ。