小泉義之『ドゥルーズの哲学　生命・自然・未来のために (講談社学術文庫)』（講談社、2015）をKindle版で。もとは2000年に出た新書。今回の講談社学術文庫版では、『数学的経験の哲学』がよかった近藤和敬氏が解説を書いているのだけれど、これが前半部分の中核部分、つまり数学的な事象をめぐる考察のよいまとめになっている。これだけ読んでもよいくらいな感じ（笑）。小泉氏が読み解くドゥルーズの数学がらみの議論のアウトラインはこんな感じか。ごくわずかな差異を生み出す大元として、ドゥルーズは微分方程式を念頭に置くわけだけれど、現実世界においては、微分方程式を積分して特定の解が得られるような事象はまず「ない」。現実問題としての微分方程式は「解けない」のであって、それを解こうとするには場合分けをして変数を相当に絞り込んで限定しなければならない（コンピュータシミュレーションの世界だ）。けれどもそうした操作とは別に現実世界の事物は実際に存在する。で、ドゥルーズは、そのような解けない問題に対して自然は、生命は、なんらかの不可知的な様態で答えを出している（答えを出すプロセスは全体としてたたみこまれている）と見ている……というわけなのだけれど、ここに少なからず誤解の芽というか、ある種の倒錯、突き合わせの無理があるようにも思われる。数学はおびただしい現実的要素を捨象して成り立っているわけだけれど、それを反転させて、そちらから現実世界を導くのはほぼ不可能（捨象した現実的要素の全貌は計り知れないから）であり、その意味で数学と現実世界はどちらも相互に異質なものであるほかなく、比喩として用いるのでもない限り、もとよりそのままでは接合しえない……。確かにドゥルーズは数的なもの、微分的なものと称して、これをどこか比喩的に処理しているきらいがある。けれども、それにしても人為的に作り込んでいるものから現実世界を再構成できるというのはその人為性ゆえに無理があるだろうし、単にデジタルなものとアナログなものとの接合が問題なのだとしても、これだけ異質なもの同士（微分方程式と生物）を持ち出してくると、後者が前者をたたみこんでいるという仮説の有効性も判然としない（判然としようがないのでは、という気もする）。

もし生物学を持ち出してくるのであれば、たとえば先に挙げた『アリストテレス的現代形而上学』所収の、ストール・マコール「生命の起源と生命の定義」などのように、異質ではあってもなんらかの共通基盤が見いだせる層において、デジタルとアナログの接合問題を考えるほうが生産的に思えてくる。同論考では、原生動物の一つラッパムシが切断されても自己再生・再構成することに関して、DNAの関与とは別に、縞模様のパターン（動的な4Dパターン）が時空間的に決定されていて、それにしたがって制御されている可能性、もしくは仮説を取り上げている。DNAが離散的（デジタル的）だとすれば、そのパターンのほうはアナログ的で、あくまで前者を補完する関係にあるとされている。しかも予めそのパターンが厳密に決まっているというのでもなく、置かれた時空間の中で動的に作動するというモデルを考えているようだ。これなどはまさに上のドゥルーズ論で言う「転倒したプラトニズム」を堅実に捉えているかのようだ。なるほど確かにドゥルーズはなんらかの点で先進性を見せてはいる（あるいはそれを読む小泉氏も）だろうけれど、それはそれとして、より細やかに、こうした個別の探求や議論でもって補完されていくべきものなのかもしれない……。

前々回のエントリで取り上げたラーシェド『アラビア数学の展開 』で、何度も言及されて、ある種の「背景」をなしていた事象として、ディオファントスの再解釈がある。ディオファントスは代数の祖というふうに言われることもあるけれど、同書ではそうではないという立場を取っている。ディオファントスは『算術』がクスター・イブン・ルーカーという人物によって翻訳されてアラビア世界に入ったのだという（10世紀？）が、実はそれ以前に、フワーリズミーなどによって代数はその名前をすでに獲得していて、独立した分野として発展していたのだとか。したがってディオファントスはここで、むしろ「フワーリズミーに続く者」と位置づけられるのだ、とラーシェドは論じている。ちなみに西欧でのラテン語訳は、16世紀にボンベッリが訳してたものの刊行はせず、最も知られた翻訳は1621年のバシェ訳とのこと。フェルマーが例の最終定理を書き込んでいたのも、バシェによるラテン語訳の『算術』第2巻第8問の欄外だったのだとか。

そもそもの『算術』の意図について、ラーシェドは、「算術の要素を、多数の単位としての数であるとし、その分数部分を、量の部分であるとするような、算術理論を構築すること」（上掲書、p.195）だったとしている。ディオファントスのアラブ世界での受容は、代数に関しては「その革新性においてというよりも、その拡張において顕著だった」（上掲書、p.197）とされる。しかもそれは、代数を扱う人々よりも、ユークリッドの伝統に属する人々によって発展させられたのだとラーシェドは語っている。ユークリッド的な観点からディオファントスは読まれたといい、それが西欧の16、17世紀のディオファントス受容と同じような理解に、はるかに早くから達していたというのだ。うーん、このあたり、とても面白い論点になっている。アラビア数学、恐るべし、という感じか。

余談だが、『算術』の一部を含むディオファントス関連の断章は、前に取り上げたLoeb版の『ギリシア数学著作集（第二巻）』（Greek Mathematical Works: Aristarchus to Pappus (Loeb Classical Library)）にも収録されていて、とりわけ、べき数などの表記法を考案した人物として紹介されている感じだが、この表記法がまたすこぶる興味深いものではある。慣れないと混乱してしまうようなものではあるのだけれど……。さらに余談ついでだが、同書に、ディオファントスの記した言葉ということで、アレクサンドリアのテオンからの次のような引用がある。”τῆς γὰρ μονάδος ἀμεταθέτου ὄυσης καὶ ἑστώσης πάντοτε, τὸ πολλαπλασιαζόμενον εἶδος ἐπ’ αὐτὴν αὐτὸ τὸ εἶδος ἔστιν. “（「単位は無限であり、かつ、いたるところで一つであるとすると、種に同じものをかけて多数化したものは、同じ種である」）。この「種」というのが、微妙にわかりづらく、個人的にはいわゆる「底」のことかしら、などと思ってスルーしていたのだけれど、ラーシェド本によると、どうやらこれはべき数のほうを指しているらしい（このεἴδοςをクスター・イブン・ルーカーはnaw’（نوء）と取っているといい、またバシェはspeciesと訳しているという）。うーむ、古代の数学書はなかなか難しい（苦笑）。

ロシュディ・ラーシェド『アラビア数学の展開 (コレクション数学史)』（三村太郎訳、東京大学出版会、2004）を眺め始める。ラーシェド（個人的にはラシドの表記を使ってきたが、まあ、フスハー（標準アラビア語）的にはそういう表記もありかな、と）の原著は84年のもの。まだ第一章を終えたところ。この第一章は「代数の始まり」と題して、アラブ世界における代数の初期の展開を描いている。当然、最初に登場するのは9世紀前半ごろのアル=フワーリズミーだ。その特徴とされるのは、なんといっても「代数計算それ自身を目指した初めての試み」（p.18）という点。逆にそれ以前の歴史、つまりフワーリズミーに影響を与えたであろう諸々の数学研究の流れについては、さほどわかっていない状況なのだという。うーむ、「始まり」と言いつつ、その真の始まりは靄に包まれているということか。続いて登場するのは、10〜11世紀のアル=カラジー。アレクサンドリアのディオファントスの再発見による算術化を進めたといういわば過渡期の人物。さらに三次方程式の理論を進めたアル=ハイヤーミー。これには二次方程式の発展と天文学の要請などが背景にあるとされる。数学がそれ自体を追うにしても、そういう周辺的な要請は無視できないのだといい、上のカラジーにしてからが、そういうことを記しているのだという。行政に絡む業務上の必要性がそうした発展の、傍系的な整備役になってきたこともまた確かであるらしい。

秋の注目本はいくつかあるけれど、これもその一つ。アミーア・アレクサンダー『無限小――世界を変えた数学の危険思想』（足立恒雄訳、岩波書店）。全体の3分の2くらいにあたる第一部を読んだところだけれど、これは実にヴィヴィッドに描かれた「不可分者」（一種の原子論）をめぐる攻防の物語。様々な登場人物（主人公？）たちが登場し、さながら群像劇のよう。話はプロテスタントの台頭から始まる。カトリックの反改革の先鋒となったのがイエズス会。そのイエズス会の中にあって、それまで低い扱いでしかなかった数学の地位向上に努めたという16世紀後半のクリストファー・クラヴィウスが第一の主要人物だ。カトリック勢力の秩序の立て直しという文脈の中で、数学こそがそうした秩序を体現するとしたクラヴィスは、伝統的なエウクレイデスの原論に依拠し、簡単な定理から徐々に複雑な図形を論証していくという幾何学を重視する。ところが折しもここに、ガリレオを中心とする「不可分者」の考え方、つまり線分は不可分な点の集まり、面は無限の線分の集まり、立方体は無限の面の集まりとする考え方が勃興する。秩序重視の伝統的数学に対して、これは現実世界からの着想を重視する立場で、著者は本文中で何度か、両者をそれぞれ「トップダウン」の数学と「ボトムアップ」の数学と呼んでいる。で、この後者の一派の中心をなすのは、ガリレオというよりもその弟子筋にあたる人々。まずは弟子の一人カヴァリエリが第二の主要登場人物となり、以後イエズス会側の論客（ギュルダン、タッケという第三、第四の主要人物）とこのガリレオ派（第五の主要人物としてのトリチェリなど）とが、熾烈な論戦を繰り広げていく。

興味深いのは、双方の勢力の浮き沈みが、時のローマ教皇庁や各国の諸勢力など巨視的なパワーバランスの布置によって左右されていること。著者はそうした政治史と数学史の話とを巧みにリンクさせて、重層的に描いている。これが実に読ませるところだ。そもそも不可分者の問題は単に数学の問題というだけでなく、世界の秩序や認識論、ひいては信仰そのものを賭すほどの大きな問題にリンクしている。そのためイエズス会は自前のコレジオでそれを教えることを徹底して禁じるし、一方でその信奉者たちはそこに、法則などの発見的役割といった新たな豊穣なメソッドを見出している。そんなわけで、一見些末なものでしかないように見える論争は、実は各人の陣営の存在意義や存続可能性そのものに関わる全面戦争の様相を呈していく。

不可分者の議論は実は14世紀ぐらいから様々な形でなされているのだけれど（以前これはメルマガでも少し見たが）、残念ながら同書は宗教改革から語り始めているためにそのあたりは扱っていない。でもそちら黎明期にもそれなりのドラマがあるはずなのだけれどね。ちなみに、同書の残りの第二部はホッブズやジョン・ウォリスがストーリーの中心となるようだ。

前回はVI章あたりまでだったけれど、さらに先に進みざっとXV章あたりまで。まだまだ先は長い（笑）。一般に当時の認識論では、認識機能と認識対象とは相似の関係にあり、知性に対しては知解対象（νοητός）が、感覚に対しては感覚対象（αἰσθητός）（現実敵な個物）が対応する。で、知性とは別にそれを補佐する中間物として思惟と思惟対象（διανοντός）が来る。感覚の側にも中間物が設けられ、信（臆見）とその対象（πιστός）をもつ。かくして、四区分のできあがりだ（VIII章）。（もっとも、大きくは知解対象、思惟対象、感覚対象の三区分となる）。数学はこの思惟に対応する部分で、数学的対象は思惟対象ということになる（IX章など）。数学的な認識は魂に内在しているものであり、数学という営為ではそれを探求して発見にいたるわけなのだけれども、そもそも探求は学習（μάθησις）に端を発するのであり、それが数学のいわば語源をなしている、なんて話も（XI章）。その内在的な原理として、一と多があるが、それは対立物の原理をなしている。有限・無限、同一と差異、元素と類などなど。このあと、数学的対象の認識をめぐる諸相についての話が続いていく。

ここでついでながら、最近見たイアンブリコスの数学論の参考文献を挙げておく。クラウディア・マッジ「イアンブリコスの数学的実体論」（Claudia Maggi, Iambrichus on Mathematical Entities, in Iambrichus and the Foundations of Late Platonism, ed. E. Afonasin et al., Brill, 2012 ）という論考で、総合的にイアンブリコスとその周辺を読み込んでいる労作。いくつかのポイントが整理されているが、そのうちの一つ（同論考の第四節）によると、すべてが一者からの発出であると考えるプロティノスに対して、イアンブリコスは一のほかに二（多をもたらす）をも原理に含め、二元論的な考え方へと戻っているのだという。